微分中值定理与导数(I)

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1、第3章微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性和曲线的凹凸性3.4函数的极值与最大值、最小值问题3.5函数图形的描绘3.6弧微分与曲率3.1微分中值定理3.1.1罗尔定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.3柯西中值定理3.1.4泰勒公式3.1.1罗尔定理罗尔定理的三个条件是结论成立的充分而非必要条件.当条件不全具备时，结论不一定成立.3.1.2拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)拉格朗日中值公式有限增量定理3.1.3柯西中值定理3.1.4泰勒公式定理4(泰勒中值定理)麦克劳林(Maclaurin)公式3.2洛必达法则

2、3.2.1“”型和“”型未定式洛必达(L’Hospital)法则.3.2.2其他类型的未定式3.3函数的单调性和曲线的凹凸性3.3.1函数单调性的判定法3.3.2曲线的凹凸性与拐点3.3.1函数单调性的判定法3.3.2曲线的凹凸性与拐点3.4函数的极值与最大值、最小值问题3.4.1函数的极值及其求法定理1(极值的必要条件)定理2(判别极值的第一充分条件)定理3(判别极值的第二充分条件)3.4.2函数的最大值与最小值问题极值概念是局部性的，用以描述函数在一点邻域内的性态.而最大值(或最小值)是函数在所讨论区间上全部函数值中的最大者(或最小者)，是全局性的概念.

3、例如在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定的条件下，如何使生产的“产量最高”、“成本最低”、“用料最省”、“能耗最小”、“效率最高”等问题.在数学上，这类问题就归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值.3.5函数图形的描绘3.5.1曲线的渐近线3.5.2函数y=f(x)图形的描绘3.5.1曲线的渐近线定义如果曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离坐标原点时，动点P与某条固定直线L的距离趋于零，则称此直线为该曲线的渐近线.1.水平渐近线2.铅直渐近线3.斜渐近线3.5.2函数y=f(x)图形的描绘描绘的一般步骤如下：(1)确

4、定函数的定义域、周期性、奇偶性与坐标轴的交点；(2)求出使得、的及、不存在的点；(3)列表确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸区间与拐点；(4)求曲线的渐近线；(5)描绘几个特殊点，特别是极值点、拐点以及曲线与坐标轴的交点；(6)综合以上信息，描绘函数图形.3.6弧微分与曲率3.6.1弧微分光滑曲线;有向弧段;弧微分.3.6.2曲率及其计算由日常生活可知，走相同长度的道路时，行进方向(即切线方向)转变越大，则道路弯曲程度越大.因此，人们自然想到，用单位弧长上曲线的转角来表示曲线的弯曲程度，称为曲线的曲率.3.6.3曲率圆曲率圆或密切圆;曲率中心.