微分中值定理与导数的应用(I)

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1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒(Taylor)公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马目录上页下页返回结束证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a

2、,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!

3、设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.令则机动目录上页下页返回结束例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验

4、:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节机动目录上页下页返

5、回结束洛必达法则第三章一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束(在x,a之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,机动目录上页下页返回结束存在(或为)推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1目录上页下页返回结束例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式思考:如何求(n为正整数)?机动目录上页下页返回结束二、型未定式存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(

6、洛必达法则)机动目录上页下页返回结束1)的情形从而机动目录上页下页返回结束2)的情形.取常数可用1)中结论机动目录上页下页返回结束3)时,结论仍然成立.(证明略)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2目录上页下页返回结束例3.求解:原式例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式机动目录上页下页返回结束例4.求(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,机动目录上页下页返回结束例3.例4.说明:1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计

7、算问题.机动目录上页下页返回结束3)若例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束解:原式例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例7.求解:利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例8.求解:注意到～原式机动目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微

8、分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如