数学竞赛辅导 第三讲 中值定理ppt课件.ppt

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1、中值定理闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.一、基本定理定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.几何解释:推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.闭区间上连续函数命题的证明1、直接法2、间接法：构造辅助函数，一般是：把结论中的改写为x，然后移项。例3-1证明讨论:例3-2证由零点定理,例3-3提示：例3-4提示：这种证明根的存在性问题一定要通过构造辅助函数来完成。辅助函数的构造方法有：移项使方程的一边为“

2、0”。中值定理及其泰勒公式1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理有限增量公式.3、柯西中值定理推论4、泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式解【例】分析：此题为0/0-型极限，可以采用L’Hospital法则(法1),原式=比较麻烦！(法2),Taylor求极限、无穷小阶数的估计【例】解：中值定理相关习题1、欲证明结论：例3-5[分析]由题设条件找不到某个子区间，其端点满足Rolle中值定理条件，而Taylor公式要求在端点展开。例3-6例3-7要证明的结论与某点的函数值有关，但与导数值无关，可考虑用函数的介值定理。要证明的结论与函数在某点的导数值有关，考虑Rolle,Lagrange,C

3、auchy中值定理。但是要证明的结论与导数无关，用连续函数的性质解决不了的，可以考虑用变限函数去构造辅助函数，通过微分中值定理解决。证明：例3-８分析：证明：２、欲证明结论：原函数法，一般为:将结论中的ξ换成x,通过变形将结论化为易消除导数的形式，求解原函数。然后证明。Lagrange中值定理的证明Cauchy中值定理的证明例3-9分析例3-10分析在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例3-113、变形，凑公式法(Lagrange,Cauchy)：例3-12分析：例3-13分析4、例3-14分析证由

4、介值定理,例3-15注意到由【1】【2】有【3】【4】【3】+【4】,得……【1】……【2】例3-16分析利用介值定理5、利用Taylor公式消去奇偶项。在利用Taylor公式证明题目时，一般要在特殊点展开，例如端点，中点等例3-17证明：