多元函数二(2012复合及隐函数求导

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1、7.3多元复合函数求导法7.3.1多元与一元的复合7.3.2多元与多元的复合7.3.3多元复合函数的高阶偏导数7.3.1多元与一元的复合1.自变量只有一个的情况注1:上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.例如注2：以上公式中的导数称为全导数.解此题也可直接利用一元函数的求导法则计算。2.当仅有一个中间变量时uzxy例2解例3证明7.3.2多元与多元的复合链式法则如图示链式法则：“连线相乘，分线相加”注1:上述公式可推广：中间变量及自变量的个数可增加或减少。例如xytzuv2:当复合函数中自变量与中间变量共存时设

2、z=f(u，x，y)具有连续偏导数，变量关系图：zuvwxy(v≡x)(w≡y)两者的区别区别类似解注也可由z=exysin(x+y)而直接对x、y求偏导。注意两种方法的区别。7.3.3多元复合函数的高阶偏导数通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数解令记同理有例5例6设z=g(2x+y)+f(2x–y，ysinx)，求zxy。解例7设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求解zxyuxy7.4隐函数求导法7.4.1一个方程的情形7.4.2方程组的情形隐函数的求导公式7.4.1一个方程的情形解令则则解令

3、则解整理得例4设φ(u，v)具有连续的偏导数，证明由方程φ(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=f(x,y)，满足方程的两端对x求导有证明利用复合函数求导法则可得方程两端对y求偏导有可得于是有7.4.2方程组的情形将所给方程的两边对求导将所给方程的两边对求导则当系数行列式时二元线性方程组的有唯一解对于解将所给方程的两边对求导并移项将所给方程的两边对求导，用同样方法得注从中解出解将所给方程的两边对x求导例6例7设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数

4、，试证明证明：将所给两方程联立：方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对自变量x求导，有解上面的方程组一般：总变量个数－方程个数=自变量个数