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《多元复合函数和隐函数的求导法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、6.3多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1复合函数的求导法则思考：设，而，，如何求？设，而，，如何求和？1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数及都在点t可导,函数在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数在点t可导,且有.简证1：因为具有连续的偏导数,则它是可微的,即有.又因为，都可导,因而可微,即有,,代入上式得：,从而.简证2：当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz，由、及的可微性,有,,令Dt®0,上式两边取极限,即得.注：.推广：设，，，，则对t的导数为：.上述称为全导数.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形
2、定理2：如果函数，都在点(x,y)具有对x及y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在,且有，。推广：设，，，，则，。讨论：(1)设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y),则？？提示:,.(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则？？提示:,.这里与是不同的,是把复合函数z=f[j(x,y),x,y]中的y看作不变而对x的偏导数,是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数.与也有类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形定理3如果函数u=j(x,y
3、)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数v=y(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(x,y),y(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且有,.例1设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求和.解=eusinv×y+eucosv×1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],=eusinv×x+eucosv×1=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例2设,而.求和.解..例3设z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全导数.解=v×et+u×(-sint)+cost=etcos
4、t-etsint+cost=et(cost-sint)+cost.例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求及.解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v)，引入记号:，；同理有,,等.,.注:,.例5设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1);(2).解由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)=F(r,θ),其中x=rcosθ,y=rsinθ,,.应用复合函数求导法则,得：,.两式平方后相加,得：.再求二阶偏导数,得：.同理可得.两式相加,得：.6．3．2全微分形
5、式不变性设z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分：.如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则.由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.例6设z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.解=eusinvdu+eucosvdv=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e
6、xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.6．3．3隐函数的求导法则1．一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)¹0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有.求导公式证明:将y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式：F(x,f(x))º0,等式两边对x求导得：,由于Fy连续,且Fy(x0,y0)¹0,所以存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域同Fy¹0,于是得
7、.例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值.解设F(x,y)=x2+y2-1,则Fx=2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=2¹0.因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x).,; ,.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一个二元方程F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数,一个三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数
8、F(x,y
