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《5.3多元复合函数与隐函数的求导法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§5.3多元复合函数与隐函数的求导法则教学目的：通过讲授，使学牛掌握多元复合函数及隐函数的求导法则教学重点：多元复合函数的求导教学难点：隐函数的求导课堂安排：复习1・偏导数及高阶偏导数2•全微分-复合函数的求导法则1.定义设函数z=/(w,v),而况、v均为兀、y的函数,即况=/心,y),v=v(x,y),则函数z=f[u(x,y),v(x,y)]叫做x、y的复合函数•其中u、v叫做中间变量，尢、y叫做自变量.2.定理如果函数u=w(x,y),v=v(x,y)在点(兀,y)处都具有对x及对y的偏导数，函数z=/(w,v)在对应点(w,v)处具有连续偏导数，则复
2、合函数z=f[u(x,y),v(xyy)]在点(兀,y)处存在两个偏导数，且具有下列公式dzdzdudzdv=1dxdudxdvdxdzdzdudzdv—=+dydudydvdy多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和•这一法则也称为锁链法则或链法则.注：一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘.例1设z=sin(w+2v),u=ex+y,v=x2-y2,求宾，宾oxdy解因为尖
3、=cos(w+2v)；尖=2cos(w+2v)oudvx+y也=严，包=严』=2■也=2ydxdydxdy所以—=ex+ycos(u+2v)+4xcos(w+2v)=cos(^v+v+2x2一2y2ex+y+4x)dx—=ex+ycos(w+2v)+4ycos(w+2v)=cos(ev+v+2x2一2y2+4y)dyx+y3.半抽象复合函数的偏导数例2设z=f(u,v)的偏导数存在,又w=sinx,v=x2y3,求尖，尖.oxdy解因为—=COSX,?=2小，，?=3/y2dxdxdyr-rnidzdzdudzdvdzdz3所以亍=——cosx+—2^-ox
4、dudxdvoxdudvdzdzdvdz22例3设z=f(u,v)可导，又u-ln(x2+1),v=cosx,求色.dx5dzdzdudzdvdz2xdz(.mv=二—:—H———=—；—-+—~vsinx)dxdudxdvdxdux2+1dv例4设z=/(x,u)的偏导数存在，又u=arctan—,y求主，主.dxdy翌=堂显L也=『+必dxdxdudxAdux2+y2)'dzdzdudz-xII~~■I’■■Idydudydux1+y2通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚变量之间的关系是关键.练习片83A14.复
5、合函数的高阶偏导数复合函数的偏导数仍然为复合函数，所以求高阶偏导时让按复合函数的求导法则求得.例如函数z=/（W,v），It=W（x,y），v=v（x,y）,则¥=d^du_^_d^dvdxduoxdvox所以d2z（dzdudzdv^^3—dx2dudxdvdxJx立屯+虫业仆.I1dudxdxdudx2dvdxdxdvdx2二隐函数求导公式1.定理设函数F(x,j,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数,F(兀o，yo，Zo)=O,F；(xo,yo,zo)^O则方程F(兀,y,z)=0在Oo，yo)的某邻域内恒能唯—确定一个单值连续且具
6、有连续偏导数的函数z=/(%,y),它满足方程F(x,y,z)=0及条件z0=f(x0,y0),其偏导数可由dFdFdz工dFdFdz——+二0和——+二0dxdzdxdydzdy即dFOF主—直和主"也dxOFdyOfdzdz来确定.2.这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导屮去.由F(x,y)=0所确定的一-元隐函数y=f(x)的导数是字=-半(代工0)dxFy由F(x,y,z,u)=0所确定的三元隐函数u=f(x,y9z)的偏导数是如=_殳包=_匚如=_殳(FJ0)办Fl(dyFudzFlt"例5求由方程siny+x2-y2=0所确定的隐函数丁=
7、/(兀)的导数.解令F（x,y）=siny+x2-y2则Fx=2x,Fy=cosy-2y所以©—竺二__—dxFycosy-2y例6求由方程x2+2y2-z2+xyz=2所确定的隐函数z=/（x,y）的偏导数解令F（x,y,z）=x2+2y2-z2+xyz-2则Fx=2x+yz,Fy=4y+xz,Fz=xy-2z所以半dx2x+yz_2x+yzxy-2z2z-xyd2za?2x+yz'（2兀+yz）x（2z-xy）~（2x+yz）（2z-xy）x
8、
9、）2z—xy）（2兀+yz（2害—y（2z-xy）22x+yz2z-xy、-yyx(2z—对例7求由2x+y+z
10、=/(x+2z)所确定的隐函数z=/(
