多元复合函数与隐函数的求导法则(I)

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1、复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则则复合函数对x的导数为这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如它是由复合而成的由于f没有具体给出一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。一、链式法则证上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公

2、式中的导数称为全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：链式法则如图示称为标准法则或这个公式的特征：⑴函数有两个自变量x和y故法则中包含两个公式；⑵由于在复合过程中有两个中间变量u和v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘”特殊地其中即令两者的区别区别类似注此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形如则从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无

3、关关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式①用图示法表示出函数的复合关系②函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键③弄清仍是复合函数且复合结构与原来的f(u,v)完全相同即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数因此求它们关于x,y的偏导数时必须使链式法则在具体计算中最容易出错的地方是对再求偏导数这一步是与f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是u的函数

4、，从而导致漏掉原因就是不注意④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量⑤注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导⑥的合并问题视题设条件解解例3设均满足复合函数求偏导数的条件计算（两重复合问题）解由链式法则故同理可得解令记同理有于是二、全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错例5设各函数满足求导条件求

5、解一变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱用全微分来解由全微分定理注意到x,z是独立自变量解二由全微分定义注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故隐函数的求导法则一、一个方程的情形解令则解令则解令则思路：解令则整理得整理得整理得二、方程组的情形1、对于方程组怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当x给定以后相当于解含关于y,z的方程组如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,z故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)若则怎样求两边对x求导注意左边是复合函数（三个中间变量），同理2、解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的

6、两边对求导并移项将所给方程的两边对y求导，用同样方法得注这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数以为例，主要有三种方法：①公式法类似地可求得②直接法方程两边连续求导两次解得：两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。③全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分