多元复合函数及隐函数求导法则

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1、一元复合函数的求导法则(链式法则）设函数构成了复合函数在对应点处可导，则复合函数在点处也可导，且有复习第三节多元复合函数及隐函数求导法则设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，即，如果能构成z是x,y的二元复合函数如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？问题：法二：多元复合函数的求导法则(链式法则）定理如果函数u(xy)v(xy)都在点(xy)具有对x及y的偏导数，函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf[(xy)(xy)]在点(xy)的两个偏导数存在且1、复合函数的中间变量均为二元函数的情形链式法则：一、多元

2、复合函数的求导法则(链式法则）链式法则如图示函数自变量中间变量zf(uv)u(xy)v(xy)复合关系图公式给出z对x的偏导数是公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即(1)公式(*)的项数，等于结构图中z到达自变量x路径的个数.函数结构中z到达自变量x的路径有两条.第一条是，第二条是，所以公式(*)由两项组成.(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径,有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数与的乘积.复合函数

3、结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.设zf(uv)u(xy)v(xy)则解法1：exy[ysin(xy)cos(xy)]eusinv1eucosvyeusinvexy[xsin(xy)cos(xy)]1eucosvx例1设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求xz¶¶和yz¶¶.zuvxy型解法2对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到，z是x，y二元函数，根据偏导数的求法，得定理

4、的推广：设zf(u,v,w),uj(x,y),vy(x,y),ww(x,y),则，．设zf(u,v,w),uj(t),vy(t),ww(t),则定理如果函数u(t)及v(t)都在点t可导函数zf(uv)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数zf[(t)(t)]在点t可导且有求导公式定理的推广：2、复合函数的中间变量均为一元函数的情形tzuv设zf(uv)u(t)v(t)则解：-由公式得-例2设函数-)sint(eucost2uvedtdvvzdtduuzdtdzvu2vu22+=∂∂+∂∂=etcostetsintcost

5、vcost+uet(sint)解:et(costsint)cost.设zf(u,v,w),uj(t),vy(t),ww(t),则例3设z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全导数dtdz.定理如果函数在点具有对及对的偏导数,函数在点可导,函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形zuvxy特殊地其中区别类似设zf(uxy)且u(xy)则例4解:yxyxeyxx2422sin22)sin21(2+++=.解令则zuxy型4、复合函数是抽象函数的情形求可导函数例5求)(xyxfz

6、+=f的偏导数。求.解:令uxyz,vxyz,则wf(u,v).例6设wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数,求21fyzfxvvfxuufx¢+¢=¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶,注：为表达方便，引入以下记号：由于所以解一元函数具有微分形式不变性，多元函数的全微分形式也有类似的性质。全微分形式不变性的实质：无论z是自变量u，v的函数或中间变量u，v的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性练习：1、求下列复合函数的偏导数答案：1、求下列复合函数的偏导数（4）令