多元复合函数与隐函数的求导法则

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1、§3复合函数与隐函数的偏导数一、多元复合函数的导数(链式法则)定理：链式法则如图示全导数解解解例3设,而,求解解例5设解例6设,而求解解例8设求例9已知证明：左==右得证证：解令记同理有于是例11证从而=x设z=f(u,v)可微,当u,v为自变量时,有若u,v不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?设u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则z=f(u(x,y),v(x,y)),二、全微分的形式不变性由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y))即:不论u,v是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变.解例14用全微分形式不变性求解记u=xy,从而z=f(u,v).

2、从而隐函数求导法方法:方程两边对x求导.一元函数：F(x,y)=0注意：y是x的函数y=f(x),然后解出y'.(1)是否任何一个二元方程F(x,y)=0.都确定了y是x的函数(单值)?如x2+y2=1.什么条件下确定y=f(x)?(2)若方程确定y=f(x).它是否可导?给出一般的求导公式.(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎样?问题:设函数F(x,y)在点X0=(x0,y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.一、方程F(x,y)=0且F(x0,y0)=0,则方程F(x,y)=0在点X0=(x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数y=f(x),它满足y0=f(

3、x0).且(隐函数存在定理)定理1隐函数的求导公式例1.方程x2+y2–1=0,当x=0时,y=1.法1.x2+y2=1两边对x求导,y是x的函数2x+2yy'=0法2.F(x,y)=x2+y2–1解令则定理1可推广到方程中有多个变量的情形.二、方程F(x,y,z)=0设三元函数F(x,y,z)在X0=(x0,y0,z0)的邻域U(X0)内有连续编导，F(x0,y0,z0)=0,F'z(x0,y0,z0)0,则在X0的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数z=f(x,y),满足z0=f(x0,y0),且定理2例3.法1.记F(x,y,z)=sin(x3z)2yz有F'x=cos(x3

4、z),故F'y=2,F'z=3cos(x3z)1法2：sin(x3z)=2y+z两边对x求偏导，z是x的函数，y看作常数.解得:类似得解令则例5设求令例6设求令例7设且f具有连续的一阶法1确定偏导数,求令例7设且f具有连续的一阶法2确定偏导数,求等式两边对x求偏导例7设且f具有连续的一阶法3确定偏导数,求利用一阶全微分形式不变性思路：整理得解令则整理得整理得例9设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,FC1,求方法1(公式法):方程左边是x,y,z的复合函数用链式法则求F'x,F'y,F'z.F'x=F'1F'y=F'1F'z=F'1=2xF'1+ycosxyF'22x

5、+F'2cosxyy=2yF'1+xcosxyF'22y+F'2cosxyx=2zF'12z+F'20方法2方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对x求偏导.　　　其中z是x的函数,y看作常量.=0解得:F'1(2x+2zz'x)+F'2cosxyy例10设z=z(x,y)是由方程x+y+z=(x2+y2+z2)所确　　定的函数,其中C1，证明z=z(x,y)满足证记F(x,y,z)=x+y+z(x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有F'x=1F'z=12z'u=12x'u'u2x2y'u,F'y=1故从而思路：解令则整理得整理得整理

6、得1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）小结（分以下几种情况）隐函数的求导法则3、隐函数求偏导