多元复合函数与隐函数求导

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1、第四节多元复合函数与隐函数求导一、多元复合函数的求导法则二、隐函数的微分法一、多元复合函数的求导法则以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。设函数，而u，v又都是x，y的函数于是是和复合而成的复合函数，其中u和v为中间变量。关于这个复合函数的导数我们有如下的定理：定理1：设函数在点(x,y)处有偏导数，在相应的点(u,v)处有连续的偏导数，则复合函数在点(x,y)处有偏导数，其满足：设自变量x有一改变量Δx,则相应地，u和v有改变量——证明：只证第一个公式，第二个可同理证明。函数在相应点(u,v)处相应于Δx的全增量—由于有连续的偏导数，所以其中上式两边同除以得当时，而这

2、样，就有所以因而必有成立。同理可证多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。例1设函数解：-------对于具有三个中间变量的函数u，v，w分别是x，y的函数，有其中解：令-例2设函数-则所以------当然我们同理也可求得下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导：（1）则称之为全导数。例3设函数解：令-故--（2）例4设函数解：令（3）抽象函数的求导方法及记号例5设连续偏导数，求-则于是解：---例6解：注意：上式中的与不是一个概念。例7设求-解：-例8设求解：--二、隐函数的微分法隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，

3、且则方程F（x,y）=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y），它满足条件y0=f(x0),且有公式-证明：仅推导公式。由于方程F（x，y）=0满足定理中的条件，所以它可以确定一个单值函数y=f(x,y)，这时有两边对x求导得再由已知条件有-例9求由方程所确定的隐函数y=f(x)的导数。-解：设-则--所以--隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程F（x,y,z）=0在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,

4、y,z），它满足条件z0=f(x0,y0),且有公式--证明：（略）例10设--求解：设--则--所以------------