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《多元函数复合求导和隐函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节一元复合函数求导法则内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则机动目录上页下页返回结束(全导数公式)推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同
2、,机动目录上页下页返回结束例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.解:机动目录上页下页返回结束例3.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束例1.
3、例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法两边对x求导回顾—利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数两边对x求导在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动目录上页下页返回结束例1.方程解:令则求两边对x求偏导同样可得则解法1利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束例2.设解法2利用隐函数求导机
4、动目录上页下页返回结束再对x求导例2.设机动目录上页下页返回结束例2.设解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.思路：解令则整理得整理得整理得解法2.利用公式第六节目录上页下页返回结束设则解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节目录上页下页返回结束由dy,dz的系数即可得有隐函数组则两边对x求导得设方程组公式目录上页下页返回结束二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.雅可比目录上页下页返回结束机动
5、目录上页下页返回结束解:二元线性代数方程组解的公式例4.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求机动目录上页下页返回结束答案:故有内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束3、隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.代公式;方法3.利用微分形式不变性机动目录上页下页返回结束思考题1.已知求解:由两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导
6、数,3.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)机动目录上页下页返回结束解得因此4.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动目录上页下页返回结束可得练习题练习题答案
