函数的极值与最值(IV)

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1、(1)确定函数的定义域；(2)求出导数f(x)；找出定义域内全部驻点和不可导点；(3)这些点将定义域分成若干个小区间；列表判断函数的导数在每个小区间上的符号，从而可以求出函数的单调区间。确定函数单调区间的步骤复习：由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。§3.2函数的极值和最值一、函数的极值由上节知道：大部分函数f(x)在其定义域内的单调性可能是不唯一的。设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0

2、(a,b)．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．极值的定义：如上图中，函数有极大值和极小值f(a)和f(b)是否为极值？x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)（1）函数的极值是一个局部性概念，最值是全局性概念（2）极值的个数可能有多个，极小值可以大于极大值；（3）极值一定在区间内部取得,但是最值可以在端点取到。（4）函数在某个区间内可能有极值，也可能无极值；单调函数一定无极值。◆函数的极值和最值的区别：见书上图形◆函数的极值和最值的联系：函数的最值如果

3、不在端点处取到，则一定在区间内部的极值点处取到。取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7y=f(x)定理1（费马定理）（必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x0)0．注：可导的极值点一定是驻点因此：对可导的函数找极值点，只需找驻点即可但应注意的是：驻点只是可疑的极值点另外：函数在不可导点也有可能取得极值极值可疑点◆极值的第一判别法设函数在点的某个邻域内可导（点可除外）则在点处

4、取得极大值；则在点处取得极小值；则在点处无极值；口诀：“先正后负取极大值、先负后正取极小值，恒正恒负不取极值”所谓正负是指导数的符号。求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出导数f(x)；找出定义域内全部驻点和不可导点；(3)这些点将定义域分成若干个小区间，列表考察各个驻点和不可导点的左、右两侧导数的符号，根据定理判断是否为极值点，如果是再进一步确定是极大值点还是极小值点；(4)求出各极值点的函数值，就得到函数的所有极值。所以，函数f(x)的极大值为f(1)10，极小值为f(3)

5、22．例1求函数f(x)x33x29x5的极值．解(1)函数的定义域为R（2）f(x)3x26x93(x1)(x3)．(3)令3(x1)(x3)0，得驻点x11，x23．(4)列表判断：(3,)22(,1)1(1,3)3f(x)00f(x)10极大值极小值↗极小值-3↘极大值0↗+0-不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)所以，f(0)=0为f(x)的极大值；f(1)=-3为f(x)的极小值。例2解：【例3】求函数的极值。得驻点

6、即函数是单调增加的，所以无极值。应注意的问题：如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f(x0)0，那么点x0一定是极值点，并且可以按二阶导数f(x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值．但如果f(x0)0或者f(x)在该点不可导，必须用第一判别法来判别。定理2(第二判别法)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0，f(x0)0，那么(1)当f(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值．口诀

7、：“大小、小大”【例4】求函数的极值。解：函数的定义域为极值与最值的关系：◎设函数在闭区间[a，b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在．◎函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得.◎如果最值不在区间的端点取得，则必在开区(a，b)的极值点处取得．二、函数的最大值、最小值因此：找最值只需比较端点的函数值和极值点处的函数值即可。(2)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；(3)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(4)比较上述函数值，找出最大的和最小的．求[a,b]上函数最大值和最

8、小值的步骤：例1求y2x33x212x14在[3,4]上的最大值与最小值．解:f(x)2x33x212x14，f(x)6x26x126(x2)(x1)，令f(x)0，得驻点x12，x21，由于f(3)23、f(2)34、f(1)7、f(4)142所以两种特殊情况：1、闭区间上的单调函数最值必然在端点处取得。2、如果连续函数在区间内有且只有一个极大(小)值，这对其他区间也成立(包括无穷区间)。而没有极小(大)值，则此极大(小)值就