函数的极值与最值

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1、第五节函数的极值与最值教学目的：1使学生理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。2使学生掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。教学重点：求函数的极值。教学过程：一、复习函数单调性判别法二、讲解新课：（一）函数的极值上节[例3]中，用X=0，和X=1两点将的定义域（-∞，+∞）分为三小区间（-∞，0），[0，1]，，使用分别在这三个小区间上单增，单减，单增（见图），从图中不难看出，在X=0的一个较小范围内，在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体这就是将讨论的极值。定义：设函数在点X0的某邻域上有定义，若对有，

2、（）定义：设函数在点X0处的得极大值（极小值）点X0称为极大点（极小点），极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。显然在上一讲[例3]中，X=0，X=1均为极点，注：极大点，极小点未必统一。定理1：（极值的必要条件），若函数在点可导，且取得极值，则。注：1、一般地，在处有，就称为的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例：在=0处的情况。3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：=∣x∣，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。4、

3、证明可仿照Rolle中值定理的证明，此处不证了。如何判别在x0点取得极值，有下二个定理：定理2（判别法1），设连续，在x0点连续，在x0的某一定心邻域内可导（Ⅰ）若当x∈（x0–σ，x0）时，f′（x）≥0，当x∈（x0，x0+σ）时，f′（x）≤0，则f（x）在x0点取得极大值。（Ⅱ）若当x∈（x0–σ，x0）时，f′（x）≤0，当x∈（x0，x0+σ）时，f′（x）≥0，则f（x）在x0点取得极小值。定理3（判别法2）设f（x）在x0的某邻域内可导，且f（x0）=0，f′（x0）存在（Ⅰ）若f″（x0）＜0，则f（x）

4、在x0点取得极大值。（Ⅱ）若f″（x0）＞0，则f（x）在x0点取得极小值。（Ⅲ）若f″（x0）=0，则此差别法2换效。证：（Ⅰ）f″（x0）=limf′（x）-f′（x0）/x-x0=limf′（x）/x-x0＜0故存在x0的某邻域U（x0，σ），当X∈（x0，σ）时，f′（x）/x-x0。即f′（x）与x-x0反号，当x∈（x0–σ，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，x0+σ）时，f′（x）＜0；由差别法1，f（x）在x0点取得极大值。（Ⅲ）[反例1]f（x）=x2在x=0点取得极小值。[反例2]f（x）=x3在

5、x=0点取不到极值。[例1]上节[例2]f（x）=3x-x3[例2]求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的极值解：由为驻点；又，所以所以在处取得极大值，且极大值为。又在处不可导，对充分小的当时，；当时，，由判别法1知在处取得极小值，且极小值为f（2）=0，所以f（x）在x=1处取得极大值3，在x=2处取得极小值0。（二）函数的最大值与最小值现讨论求最大值，最小值的问题，最大（小）值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大（小）值在定义域内部取得，则此最大（小）值必为极大（小）

6、极，这时，最大（小）点必为导数不存在的点和驻点，另外最大（小）值还可能在定义域的端点上取得（若端点在定义域中的话）。由此，若f（x）在定义域上取到最大（小）值。现给出求f（x）在区间Ⅰ上的最大（小）值办法：（i）求出f（x）在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。（ii）求出f（x）在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值。特别地，若f（x）在[a，b]上连续，可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a、b中取得。[例1]求f（x）=x4-2x2+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值。解：因为f（x）在[-

7、3，2]上连续，故最大值，最小值一定存在。又f（x）在[-3，2]内可导，即无不可导的点，下求驻点；令为驻点。而又在端点处f(-3)=66，f（2）=11经过比较，得知最大者为66，最小者为2，∴f（x）在[-3，2]上的最大值为66，最小值为2。思考题：f（x）=x4-2x2+3在[-3，2]上是否存在最大，小值？为什么？[例2]求f（x）=x4-8x2在[-1，1]上的最值。解：f（x）在[-1，1]上连续，可导，∴最值存在，且在驻点和端点中取得。令f′（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0得x1=0，x2=2，

8、x3=-2，因为2，-2∈（-1，1）故去掉，所以在[-1，1]中有一个驻点x=0，且f（0）=0。又在端点处，f（-1）=f（1）=-7，由比较得f（X）在[-1，1]上的最大值为0，最小值为-7。注：上例中，S=0为f（x）在[-1，1]上的唯一的驻点，不难验证f（x）在x=0处取得极大值（因为f″