资源描述：
《浅谈函数的极值与最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浅谈函数的极值与最值玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业刘有燕2005011115指导教师：张玮摘要：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,本文讨论了一元函数、二元函数的极值与最值,其结果可以推广到元函数,在此基础上阐述了函数的极值与最值的区别与联系．关键词：一元函数；二元函数；元函数；极值；最值；矩阵前言：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,生产实践和科学实验中所遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题都可以归结为数学的极值、最值问题,因此,讨论函数的极值、最值问题具有现实意义.本
2、文着重讨论一元函数、二元函数的极值与最值的求解方法,并把方法推广到元函数.在许多实际问题中,极值与最值结果往往相同,实际上它们之间是有区别的,因此,弄清楚函数的极值与最值的区别和联系是非常重要的．下面具体讨论一元函数、二元函数的极值与最值．一、一元函数的极值与最值⒈一元函数的极值⑴一元函数极值的定义设函数在区间有定义,若,且存在的某邻域．,有,则称是函数的极大点（极小点）,是函数的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值．[1]⑵费马定理：设函数在区间有定义,若函数在可导,
3、且是函数的极值点,则．⑶稳定点：若函数可导,则方程的根称为函数的稳定点．⑷可导函数的极值点必在函数的稳定点的集合中,而稳定点却不一定是极值点.例如：函数是稳定点也是极值点.函数,是稳定点,但不是极值点.13从稳定点中找出极值点，有两个充分性的判别法：第一判别法：若函数在可导,且,,有则是函数的极大点（极小点）,是极大值（极小值）．在稳定点的两侧,的符号左正右负,函数取得极大值；的符号左负右正,函数取得极小值．第二判别法：若函数在存在阶导数,且,．①是奇数,则不是函数的极值点；②是偶数,则是函数的极值点；
4、当时,是函数的极小点,是极小值；当时,是函数的极大点,是极大值．⑸设函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶导数,由第二判别法可知分三种情况：,点的矩阵.①当时,函数在点的矩阵是正定矩阵,是函数的极小点,是极小值.②当时,函数在点的矩阵是负定矩阵,是函数的极大点,是极大值.③当时,函数在点的矩阵是半正定矩阵,不能判断点是否是函数的极值点.注释：正定矩阵：正定的实对称矩阵简称为正定矩阵.实对称矩阵是正定的充要条件是的所有顺序主子式全大于零.级实对称矩阵是正定的当且仅当的特征值全大于零.级实对称矩阵是负定的充要条
5、件是它的偶数阶顺序主子式全大于零,奇数阶顺序主子式全小于零.13⑹对函数而言,稳定点可能是极值点,不可导点也可能是极值点,那么如何判定不可导点是否是极值点？[2]设不可导点把函数的定义域分成两个区间：．如果函数在连续,那么：①时,；时,是的极大点,是的极大值．②时,；时,是的极小点,是的极小值．③及时,都有（或）不是的极值点．如果函数在不连续,那么可能是极值点也可能不是极值点,需要具体情况具体分析.函数的极值随极值点的确定而确定．⒉一元函数的最值⑴一元函数最值的定义设函数在区间有定义,,对,恒有,则称是
6、函数的最大点（最小点）,是函数的最大值（最小值）,最大点与最小点统称为最值点,最大值与最小值统称为最值．⑵闭区间可导函数的最值求法若函数在闭区间连续,在开区间可导,且是函数在开区间内的所有稳定点,则函数值个：中最小者就是函数的最小值,最大者就是函数的最大值．所以,求可导函数的最值就归结为求可导函数在稳定点及区间端点函数值中的最值．注释：若存在不可导点,则还需考察这些点．⑶无限区间上连续函数的最值求法函数在区间有定义,如果区间是无限区间且在连续,则可能无最值．可以根据函数在相应开区间的极值,以及当趋于的端
7、点（或）时,的变化趋势来确定函数是否有最值．生产实践和科学实验中遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”13等问题都可以归结为数学的最值问题．在求最值的某些应用问题时,根据问题的实际意义,能够判定它必能取到最大值（最小值）,而从实际问题抽象出来的可导函数在区间只有一个稳定点,这时就可断定,函数在此稳定点必取到最大值（最小值）．二、二元函数的极值与最值⒈二元函数的极值⑴二元函数极值的定义设函数在点的邻域有定义,若,有,则称是函数的极大点（极小点）,称为函数的极大值（极小值）．[3]关于二元函数的极值问
8、题，一般可利用偏导数来解决．⑵二元函数极值存在的必要条件定理⒈设函数在点存在两个偏导数,且是函数的极值点,则．⑶稳定点：满足方程组的点称为函数的稳定点（偏导数为零的点）．可微函数的极值点一定是稳定点,反过来,稳定点不一定是极值点,下面给出极值点的判定定理：⑷二元函数极值存在的充分条件定理⒉设函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶连续偏导数,令．①若,则是函数的极值点：如果,那么是函数的极小点,是极小值．如果,那么是函数的极大点,是极大值．②若,
