.函数的极值与最值

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1、2.函数的极值与最值（1）（炆邑）2017.11.28一、基础知识1.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数

2、的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步　求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步　将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括

3、号中打“√”或“×”)1.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.2.函数的极大值不一定比极小值大.(　√　)3.对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(　×　)4.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　√　)5.三次函数在R上必有极大值和极小值.(　×　)【课前小练】1.(教材改编)函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________.答案　11解析　y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)

4、1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值，3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.2.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________.答案　－解析　f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，第10页，共10页又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－.3.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.答案　(－∞，－1)解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函

5、数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.二、例题题型一　用导数解决函数极值问题命题点1　根据函数图象判断极值例1　(1)(2016·淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是________.(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________.①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小

6、值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2).答案　(1)③　(2)④解析　(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.命题点2　求函数的极值例2　设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得

7、方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解　(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；第10页，共10页当x∈(－1，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大

8、值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰