函数的极值与最值(VI)

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1、函数的极值与最值一、函数的极值二、函数的最大值与最小值在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.一、函数的极值定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有(1)成立，则称为f(x)的极大值，称为f(x)的极大值点；(2)成立，则称为f(x)的极小值，称为f(x)的极小值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.定

2、理4.9(极值的必要条件)设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则由4.1引理可知定理4.9成立.注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.例如为其驻点，但是x=0不是的极值点.还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点，例如图中所示的函数在点处不可导，但为其极小值.由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:定理4.10(判定极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在点x0连续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).

3、如果在该邻域内如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.因此可知x0为f(x)的极大值点.对于情形(2)也可以进行类似分析.分析对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知，当时，f(x)严格单调增加；当时，f(x)严格单调减少，(3)判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi较小的邻域内)的符号，依定理4.10判定xi是否为f(x)的极值点.由定理判定函数极值一般步骤为：令，得函数的两个驻点：x1=–1，x2=2.内存在，函数的两个驻点x1=–1，x2=2把分成三个子区间.例1所给函数的定义域为.解x–1(

4、–1,2)2+0–0+y极大值极小值–10可知x=0为y的极小值点，极小值为0.例2所给的函数定义域为.解非极值极小0y+0+0–1(0,1)0x例3所给的函数定义域为.解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y极小值极大值０极小值定理4.11(判定极值的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且则证由于f(x)在x0处二阶可导，且，由佩亚诺型余项的泰勒公式有当x充分接近于x0时，易见，上式右端的符号取决于.当二阶导数易求，且驻点x0处的二阶导数时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点x0是否为极值点比较方

5、便.例4所给的函数定义域为.解上述求函数极值与极值点的方法可总结为:欲求连续函数f(x)的极值点，需(1)求出f(x)的定义域.(4)如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.(2)求出.在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点.(3)判定在上述点两侧的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.二、函数的最大值与最小值由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭

6、区间上的最大值、最小值是本段的基本问题.求[a,b]上连续函数的最大值、最小值的步骤：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)内的驻点(2)求出f(x)在(a,b)内导数不存在的点(3)比较导数为零的点和导数不存在的点的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数f(x)在区间[a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数f(x)在某点邻域内的局部性质.例5由于所给函数为[–1,2]上的连续函数.解可知f(x)在[0,3]上的最大值点为

7、x=2，最大值为f(2)=1.例6所给函数为[0,3]上的连续函数.解最小值点为x=0，最小值为由隐函数求导法则可以得出过M点的切线斜率例7任取上的点M(x,y)，且x>0，y>0.解因而过M(x,y)的切线方程为可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为但是S最小当且仅当其分母最大.令X=0，得切线在y轴上的截距.令Y=0，得切线在x轴上的截距.而且所求的驻点唯一，因此点为所求最小值点，最小面积为ab.由问题实际意义知，所围三角形面积存在最小值，如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的

8、端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.有必要指出，对于在实际的问题中求其最大(小)值，首先应该建立目标函数.然后求出目标函数在定义区间内的驻点.如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，