函数的极值最值与导数

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1、第三十九讲函数的极值、最值与导数一、引言1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点．2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题．3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题

2、的方法．二、考点梳理1．函数的极值：一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说是函数的一个极小值．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．理解极值概念要注意以下几点：（1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个

3、函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，是极大值点，是极小值点，而．2．函数极值的判断方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，11是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．注意：函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异，即可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件．3．函数的最大值与最小值：在闭区间上连续的函数，在是必有最大值与最小值，但在开区间上连续的函数不一定有最值．4．极值与最值的区别与联系：①“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的

4、函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．②从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；④极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．三、典型例题选讲例1求的极值，并画出的草图．分析：首先求，再求方程的根，然后检验在根两边的符号．解：因为，所以．令解得或．当变化时，，的变化情况如下表：-22+0－0+↗极大值↘极小值↗因此，当时，

5、有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．函数的图像如图１所示：11归纳小结：(1)本题考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力；（2）通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略.（3）求可导函数的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数；②求方程的根；③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么在这个根处

6、无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．例2（安徽）设，函数的图像可能是（　　）解：，由得，∴当时，取极大值，当时取极小值且极小值为负．故选C．另解：当时，当时，．选C．归纳小结：（1）本题考查了函数图象与导数极值11的基本知识，考查了数形结合思想和分析推理能力．（2）函数的极值是的充分条件，可以利用填表的方式或穿轴法判断是极大值还是极小值．（3）在图形问题中特殊值法是一种常用的方法，要不断练习把握．例3（2008广东）设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．解:令，则有大于零的根，所以.∴，则.∵，∴，即，解得.故选B．归纳小结：（1）本题考

7、查函数的极值与方程的根的关系，考查了转化思想和分析、计算能力．（2）函数的极值点是方程的根，但要注意方程的根不一定是函数的极值点，如果要判断是否为函数的极值点还需要验证该点两侧导数的符号是否异号．例4已知函数，(1)求的单调递减区间；(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．分析：第(1)问属于程序化问题，第(2)问是函数在闭区间的最值问题，只需要求出函数的极值和端点值并进行比较即可解：(1)．令，解得或．所以函数的单调递减区间为，.