导数与函数的极值、最值--知识梳理

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1、导数与函数的极值、最值最新考纲　了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知识梳理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f

2、′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是

3、最大值，最小的一个是最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)(2)函数的极大值不一定比极小值大.(√)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3

4、，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.答案　D3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和

5、极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析　由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案　D4.(2015·陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.解析　由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e

6、－1，因为y′

7、x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.答案　y＝－5.(人教A选修1－1P97例5改编)函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最大值与最小值分别为________.解析　由f(x)＝x3－4x＋4，得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2；令f′(x)＜0，得－2＜x＜2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2，2)上单调递减，而f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，故f(x)在[0，3]上的最大值是4，最小值是－.答案　4

8、，－考点一　利用导数研究函数的极值问题[微题型1]　求不含参函数的极值【例1－1】已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去.当x∈(

9、0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数.由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5，f(x)无极大值.[微题型2]　求含参函数的极值【例1－2】(2015·银川一中一