导数与函数的极值和最值

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1、第十一讲函数的极值和最值与导数一、函数极值：1・定义一般地，设函数y=fM在兀=兀。及其附近有定义，如果/（%0）的值比心附近所有各点的函数值都大，我们说/（x0）是函数y=/（x）的一个极大值；如果/uo）的值比兀°附近所有各点的函数值都小，我们说/（X。）是函数y=/（X）的一个极小值。极大值与极小值统称极值。注：（i）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ii）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（iii）极大

2、值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，州是极大值点，兀是极小值点，而/（心）＞/（州）。（iv）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。2•判别与求法假设X。使广（兀。）=0,那么兀。在什么情况下是的极值点呢?如上左图所示，若X。是/（X）的极人值点，则兀0两侧附近点的函数值必须小于/（x0）o因此，兀0的左侧附近/（兀）只能是增函数，即f（x）＞o0观的右侧附近/（兀）只能是减函数，即r（x）＜o,同理，如上右图所示，若X。是

3、极小值点，则在心的左侧附近/(X)只能是减函数，即f(x)<0,在观的右侧附近/⑴只能是增函数，即.f(x)>0,从而我们得出结论：若兀。满足广(兀。)=0,且在兀。的两侧.f(x)的导数异号，则观是/(兀)的极值点，/(兀°)是极值，并JT如果广(兀)在兀()两侧满足“左正右负”，则心是/(兀)的极大值点,f(xQ)是极大值;如果广(兀)在兀。两侧满足佐负右正”,则兀0是几兀)的极小值点,f(xQ)是极小值。求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程y=0的根，这些根也称为可能极值点；④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好

4、通过列表法)二、例题与实践：【例1］求函数的极值(1)y=6+12x-x3(2)y=4x3-3x2-6x【例2］设函数/(x)=-cos2x-4tsin—cos—+4r3+z2-3r+4,xg7?中/Wl,将/(兀)的最小值记为g(r)・(I)求g⑴的表达式;(II)讨论g(f)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(D我们有f(x)=-cos2x-4rsin—cos—+4r3+r2-3r+422=sin2x—1—2/sinx+4t^+1~—3r+4=sin~x—2fsinx+/"+4/“—3f+3=(sinx-f尸+4尸-+3.由于(sin兀—『)

5、220,

6、r

7、^l,故当smx=t时，/(兀)达到其最小值g(f),即g(/)=4F_3r+3.(ID我们有g'(f)=12尸—3=3(2/+l)(2r-l),-l

8、题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，明最大，哪个值最小发现图中是极小值，间［d,b］上的函数），=/（X）的最大值是一在区间［a,对上求函数）y/⑴的最夫值与最小值的步骤:1、函数=/（x）在⑺上）内有导数；2、求函数y=/⑴在（“）内的极值3、函数）y/⑴在仏b）内的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值四、例题与实践：【例】求函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值。解：先求导数，得4兀令y'=0即4兀'-4%=0解得%!=-l,x2=O’®-1导数『的正负以及/(-2),/(2)如下表X—9(-2,-1)-1

9、(-1,0)0(0,1)1(1,2)2/y0+0——0+y1345413从上表知，当x=±2时，函数有最人值13,当x=±时，函数有最小值4实践反馈1.求函数2*+5在区间［-2,2］上的最人值与最小值。2.有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2厂，短半轴长为厂，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，15CD=2%,梯形面积为S.(I)求面积S以兀为口变量的函数式，并写出其定义域；(II)求而积S的最人值.