第九讲 三角函数的图像及其性质经典难题复习巩固

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1、DSE金牌化学专题系列精典专题系列第9讲三角函数的图像和性质一、导入：《小壁虎断尾巴》大道理：痛苦带给人们的不一定是负面效应，有时痛苦也孕育着希望，能感觉到痛苦，就说明还有知觉，还有活下去的希望，这个时候，能够痛苦岂不是一件很令人开心的事情？二、知识点回顾：1．周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝t

2、anx图象定义域RR{x

3、x≠＋kπ，k∈Z}值域单调性递增区间：递减区间：递增区间：递减区间：递增区间：最值x＝时，ymax＝1x＝时，ymin＝－1x＝时，ymax＝1x＝时，ymin＝－1无最值奇偶性对称性对称中心对称中心对称中心周期15戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功三、专题训练：考点一三角函数的定义域问题求下列函数的定义域：(1)y＝lg(2sinx－1)；(2)y＝.[自主解答]　(1)要使函数有意义，则2sinx－1>0⇒sinx>，解得＋2kπ

4、)的定义域为(＋2kπ，π＋2kπ)，k∈Z.(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x

5、＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx，即MN≥OM，则≤x≤(在[0,2π]内)．∴定义域为{x

6、＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z)．法三：sinx－cosx＝sin(x－)≥0，将x－视为一

7、个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，解得2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z.所以定义域为{x

8、2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z)．变式训练：求函数y＝lgsin(cosx)的定义域．解：要使函数有意义，15戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功必须使sin(cosx)>0.∵－1≤cosx≤1，∴0

9、－＋2kπ

10、－＋2kπ

11、点二三角函数的值域和最值求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝acosx＋b；(2)y＝2cos(2x＋)＋1，x∈[0，]；(3)y＝3cos2x－4sinx＋1.[自主解答]　(1)∵cosx∈[－1,1]，∴当a＝0时，y＝b，无最值；当a>0时，函数的最大值为a＋b，最小值为－a＋b.当x＝2kπ，k∈Z时取得最大值．当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最小值．当a<0时，函数最大值为－a＋b，最小值为a＋b.当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最大值，当x＝2kπ，k∈Z时取得最小值．(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.∴－1≤cos(2x＋)≤.15戴氏教

12、育集团努力+勤奋+信心=成功∴－1≤2cos(2x＋)＋1≤2.∴当x＝0时，函数y＝2cos(2x＋)＋1的最大值为2；当x＝时，函数y＝2cos(2x＋)＋1的最小值为－1.(3)y＝3cos2x－4sinx＋1＝3－3sin2x－4sinx＋1＝－3(sin2x＋sinx)＋4＝－3(sinx＋)2＋.又∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－时，函数y＝3cos2x－4sinx＋1的最大值为；当sinx＝1时，函数y＝3cos2x－4sinx＋1的最小值为－3.思考：若本例(1)中函数的最大值为1，最小值为－3，求函数y＝bsin(ax＋)　的值

13、域．当a<0时则∴y＝bsin(ax＋)＝－sin(－2x＋)其值域为[－1,1]．综上，函数y＝bsin(ax＋)的值域为[－1,1]．变式训练：求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．解：y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(sin2x－1)2＋6.因为函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为(－1－1)2＋6＝10，最小值为(1－1)2＋6＝6，所以当sin

14、2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.考点三三角函数的单调性求下