第九讲-三角函数图像和性质

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1、第九讲三角函数的图像与性质高考要求三角函数要求层次重难点，，的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法函数的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题B掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用知识精讲三角

2、函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.板块一：三角函数的图象(一)知识内容1.三角函数的图象y=sinxxy=cosxy=tanx2.函数的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期；②令＝0、、、、，得、、、、，于是得到五个关键点、、、、；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数的图象．3.的图象函数的图象可以用下面的方法得到：先把的图象上所有点向左或向右平行移动个单位；再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍

3、（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍（横坐标不变），从而得到的图象．当函数表示一个振动量时：叫做振幅；叫做周期；叫做频率；叫做相位，叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下：(1)相位变换要得到函数的图象，可以令，也就是原来的变成了现在的，相当于x减小了，即可以看做是把的图象上的各点向左或向右平行移动个单位而得到的．这种由的图象变换为的图象的变换，使相位由变为，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换．(2)周期变换要得到函数的图象，令，即现在的缩小到了原来的倍，就可以看做

4、是把的图象上的各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由的图象变换为的图象，其周期由变为，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩．(3)振幅变换要得到的图象，令，即相当于变为原来的A倍，也就是把的图象上的各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．【说明】本题的所有变换都是针对和来的，也就是说所有的转换都是用在和身上的，他们的系数也不包括在内．例如的图象，如果先把各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）变成，再把所得的各点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变），得到，而最后才所有点向左或向右

5、平行移动个单位，这样得到就是，而不是．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对和做的”这句话的意义．(二)典例分析【例1】⑴（2009年全国I）如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．⑵（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是()A．0B．1C．2D．4【例1】函数的部分图象如下图所示，则…【例2】方程在内解的个数为．【例3】如图，方程在区间内解的个数是()A．B．C．D．【例4】⑴求方程的解的个数；⑵求方程的解的个数．【例1】(2006年-辽宁)已知函数，求的值域．【例2】函数的值域为_______【例3】⑴求函数，的值域．⑵

6、求函数的值域．【例4】的最值及对应的x的集合【例1】已知正弦曲线上的一个最高点是，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与轴相交于点，试求这个函数的解析式.【例2】已知函数的图象在轴上的截距为，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和.⑴求的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象.【例3】如图，是函数，的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【例1】右图是函数的图象的一部分，试求此函数的解析式.【例2】函数的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【例3】(2005年湖南高考)设函数的图象与直线，及轴围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积

7、为，⑴在上的面积为；⑵在上的面积为．【例4】设⑴求当时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值和最小值．【例1】已知函数的最小值为1，求a的值.【例2】求证：在区间内存在唯一的实数对，，且，使得，成立．【例3】已知函数的值域为[]，求a、b的值．【例1】已知函数．（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例2