第15讲 三角函数的图像和性质.doc

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1、第15讲 三角函数的图像和性质项目一知识概要1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RR{x

2、x∈R且x≠+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性[-+2kπ,

3、+2kπ](k∈Z)上递增;[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增最值x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ,0)(k∈Z)(+kπ,0)(k∈Z)(,0)(k∈Z)对称轴方程x=+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)周期2π2π

4、π项目二例题精讲任务一 求三角函数的定义域和最值问题【例1】 (1)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(  )A.2-B.0C.-1D.-1-(2)函数y=的定义域为______________________.分析 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴;求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识.答案 (1)A (2){x

5、x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值.∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴sin∈.∴y∈,∴ymax+y

6、min=2-.(2)要使函数有意义,必须有,即故函数的定义域为{x

7、x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}.评注 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图像来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(si

8、nx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).任务二 三角函数的单调性和周期性问题【例2】 写出下列函数的单调区间及周期:(1)y=sin;(2)y=

9、tanx

10、.分析 (1)化为y=-sin,再求单调区间及周期.(2)由y=tanx的图像→y=

11、tanx

12、的图像→求单调性及周期.解析 (1)y=-sin,它的增区间是y=sin的减区间,它的减区间是y=sin的增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.由2kπ+≤

13、2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故所给函数的减区间为,k∈Z;增区间为,k∈Z.最小正周期T==π.(2)观察图像可知,y=

14、tanx

15、的增区间是,k∈Z,减区间是,k∈Z.最小正周期T=π.评注 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性

16、规律“同增异减”.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定.任务三 三角函数的奇偶性和对称性问题【例3】 (1)已知f(x)=sinx+cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,则φ的值为________.(2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么

17、φ

18、的最小值为(  )A.B.C.D.答案 (1) (2)A解析 (1)f(x)=2sin,y=f(x+φ)=2sin图像关于x=0对称,即f(x+φ)为偶函数.∴+φ=+k

19、π,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,又∵

20、φ

21、≤,∴φ=.(2)由题意得3cos=3cos=3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得

22、φ

23、的最小值为.评注 若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.

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