第5讲三角函数的图像与性质

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1、第5讲　　三角函数的图像与性质★知识梳理正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R（2）值域：都是[-1，1]对于，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对于，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。（3）周期性：①、的最小正周期都是2②和的最小正周期都是（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（5）单调性：在区间上单调递增，在单调递减；在上单调递增，在区间上单调递减，。（6）正切函数的图象和性质：（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是.（4）奇偶性与

2、对称性：奇函数，对称中心是，（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。★重难点突破1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。2.难点：化简三角函数式的过程.3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关的问题(1)利用单调性处理不等关系问题1.(08四川)设≤，若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．，即，即，即；又由，得；综上，，即．选C．（2）研究三角

3、函数的性质问题2.（08安徽卷）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象.解：（1）,由函数图象的对称轴方程为（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值1又，当时，取最小值所以函数在区间上的值域为★热点考点题型探析考点1　　作三角函数的图象题型1:作正弦函数的图象［例1］（2007·天津改编）画出函数在一个周期内的图像．【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）．五个特殊点的选取．［解析］（

4、1）列表如下：000－0　　（2）描点、连线（如图3－3－2）图3-3-2【名师指引】五点法作图的技巧：函数的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为，于是五点横坐标依次为，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像．题型2.借助于三角函数的图象处理有关问题问题2.（2007·天津）设函数，则（　）A、在区间上是增函数B、在区间上是减函数C、在区间上是增函数D、在区间上是减函数【解题思路】作出图象,一目了然［解析］函数的图象如下图选A．【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出

5、函数在区间上的图像．［解析］（1）列表如下：0010　　　　　（2）描点、连线（如图3－3－3）2.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知函数对任意都有则等于（）A.或B.或C.D.或解析:由，函数图象关于，是最大值或最小值选B考点2　　值域与最值问题题型1.化为的形式[例1].(2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知R.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值，并指出此时的值．【解题思路】利用对解析式进行化简,再进一步处理.解：（1）∵∴.(2)当时,取得最大值,其值为2.此时，即Z.【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的

6、形式,再研究函数的性质.利用整体代换的思想求出函数的最大值和最小值是解题的关键．题型2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值.［例2］1，3，5求函数的最大值和最小值．【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.［解析］设，则所以故当即时，，当即时，．【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想．【新题导练】3.设．求的最大值及最小正周期.解：．故的最大值为；最小正周期．4.已知向量,，且（1）求的取值范围；（2）若，试求的取小值，并求此时的值。解：（1）即………………………………6分（2）的最小值为－考点3　　周期性与奇偶性问题题型.研究三角函

7、数的奇偶性和求周期［例1］(潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性。【解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使f(x)有意义，必须，即得f(x)的定义域为　（2）因f(x)的定义域为，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数.　【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称．若函数f（x）为奇函数的图像关于原点对称．若函数f（x）为偶函数的图像关于y轴对称．［例2］（08江苏卷）的最小正周期为，其中，则=．【解题思路】代公式解析