第九章 三角函数的图像和性质

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1、第九章三角函数的图像和性质教学要求三角函数的图像和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图像和性质并会灵活运用重点难点1考查三角函数的图像和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图像的基础上要对三角函数的性质灵活运用2三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用典型题

2、例示范讲解例1设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围命题意图本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用知识依托主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决错解分析考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题技巧与方法对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题解法一∵z1=2z2，∴m+(2－m

3、2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－)2－当sinθ=时λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2解法二∵z1=2z2∴∴,∴=1∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4,令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则或f(0)·f(4)≤0∴∴－≤λ≤0或0≤λ≤2∴λ的取值范围是［－，2］例2如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这段时间的最大温差(2)写出这段曲线的函

4、数解析式命题意图本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则知识依托依据图像正确写出解析式错解分析不易准确判断所给图像所属的三角函数式的各个特定系数和字母技巧与方法数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式解(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像∴=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+φ)

5、+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=π综上所求的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］学生巩固练习1函数y=－x·cosx的部分图像是()2函数f(x)=cos2x+sin(+x)是()A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值又有最小值的偶函数3函数f(x)=()｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________4设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是_________5设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(

6、sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0(1)求证b+c=－1；(2)求证c≥3；(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值6用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值7有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值8设－≤x≤，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小

7、值9是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由参考答案1解析函数y=－xcosx是奇函数，图像不可能是A和C，又当x∈(0,)时，y＜0答案D2解析f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1答案D3解在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间4解由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得5

8、解(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立∴f(1)≤