第三讲-函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固

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1、DSE金牌化学专题系列精典专题系列第3讲函数的性质一、导入：《老人与黑人小孩子》一天，几个白人小孩在公园里玩。这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道：“您能卖给我一个气球吗?”“当然可以，”老人慈祥地打量了他一下，温和地说，“你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑

2、色的气球。他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。老人一边看着上升的气球，一边用手轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。”大道理：成就与出身无关，与信心有关。这个世界是用自信心创造出来的。有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。二、知识点回顾：1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1

3、，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1

4、，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称2．周期性12戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期．三、专题训练：专题一函数单调性的判断与证明已知函数

5、f(x)＝，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[自主解答]　法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴－＝＝>0，于是f(x2)－f(x1)＝－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．变式训练：判断函数f(x)＝x＋(a>0，x>0)的单调性．解：法一：函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为{x

6、x>0}．设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，∵当0

7、2x2≥时，恒有x1x2>a，则f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在[，＋∞]上是增函数．综上所述，函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．专题二求函数的单调区间求下列函数的单调区间．(1)y＝－x2＋2

8、x

9、＋3；12戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功[自主解答]　(1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x

10、＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2

11、x

12、＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．变式训练：求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.专题三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x

13、)的最小值．[自主解答]　(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，∵f′(x)＝1－＝，∴f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．∴f(x)min＝f(1)＝.(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f()＝2＋2.若≤1，即0