反比例函数中的面积问题__经典难题复习巩固

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1、反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神

2、助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、知识点回顾     由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中

3、k

4、的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M

5、、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=

6、PM

7、×

8、PN

9、=

10、y

11、×

12、x

13、=

14、xy

15、     ∴xy=k    故S=

16、k

17、   从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值

18、k

19、   对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：   结论2：在直角三角形ABO中，面积S=   结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2

20、k

21、   结论4：在三角形AMB中，面积为S=

22、k

23、   三、专题讲解8考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k） 【例1】如图，直线

24、OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　　　　．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则       ．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴  而     由四边形OEBF的面积为2得 解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面

25、积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3    ∴                   ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，             ∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）                  （3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）                 ∵          8∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）评注：依据图象

26、及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。考点二已知反比例函数解析式，求图形的面积【例2】（1）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（  B）   A．                B．                C．               D．分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=，对于C：S=4，对于D：S=4故选（B）（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两

27、点向轴、轴作垂线段，若则       ．分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3 ∴S1=S2=2 S1+S2=4评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。考点三利用点的坐标及面积公式求面积【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上 ．反比例函数的解析式为：8．点在上      经过，，解之得  一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，   点    如图，直线与反比例函数（＜0）