反比例函数与一次函数(精)经典难题复习巩固.docx

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1、DSE金牌数学专题系列经典专题系列反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆

2、虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中

3、k

4、的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任

5、意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=

6、PM

7、×

8、PN

9、=

10、y

11、

12、x

13、=

14、xy

15、×M、N，则两垂∴xy=k故S=

16、k

17、从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值

18、k

19、对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2

20、k

21、结论4：在三角形AMB中，面积为S=

22、k

23、三、专题讲解考点一已知面积，求反

24、比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。k值。第②小题首先应用三角形面积的轴于B，如图，矩形ABO

25、D的顶点A是函数轴于D，且矩形ABOD的面积为3．与函数在第二象限的交点，（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得，求点-k=3P的坐标．∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的

26、坐标，然后才能解决第③小问。考点二已知反比例函数解析式，求图形的面积【例2】的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（B）（1）在反比例函数B．C．D．A．分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=，对于C：S=4，对于D：S=4故选（B）（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3∴S1=S2=2S1+S2=4评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，

27、过程简单。考点三利用点的坐标及面积公式求面积【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积..解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上∴k=-8∴反比例函数解析式为y=

28、（2）∵B点的横坐标为-4，∴纵坐标为y=2∴B(-4，2)∵点A（-2，4）、