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1、DSE金牌化学专题系列精典专题系列第15讲平面向量（二）一、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身
2、上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1．平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把数量叫做a和b的数量积(或内积)，记作.即a·b＝，规定0·a＝0.(2)向量的投影①定义：设θ为a与b的夹角，则(
3、b
4、cosθ)叫做向量a在方向上(b在方向上)的投影．②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度
5、a
6、与b在a的方向上的投影的乘积．2．向量数量积的运算律(1)a·b＝.
7、(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝.(3)(a＋b)·c＝.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模
8、a
9、＝
10、a
11、＝夹角cosθ＝cosθ＝12a⊥b的充要条件
12、a·b
13、与
14、a
15、
16、b
17、的关系
18、a·b
19、≤
20、x1x2＋y1y2
21、≤三、专题训练：考点一平面向量的数量积运算及向量的模(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5.求·，
22、
23、.(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和
24、a＋2b
25、.[自主解答] (1)·＝
26、
27、
28、
29、cos〈，〉＝5×5cos1
30、20°＝－.∴＝(＋)∴
31、
32、2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(25＋25＋2×5×5cos60°)＝，∴
33、
34、＝.(2)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)∴a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)，2a＋3b＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝－12＋30＝18.又∵a＋2b＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2)∴
35、a＋2b
36、＝＝.变式训练：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·；(2)如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝( )A．1
37、 B．3C．5D．612解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，且cos∠ABC＝.又∵与的夹角θ＝π－∠ABC，∴cosθ＝－cos∠ABC＝－，∴·＝
38、
39、
40、
41、cosθ＝5×3×(－)＝－9.(2)令＝a，＝b，则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，所以·＝b·(1,2)＝3.考点二两向量的夹角问题已知
42、a
43、＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角的大小；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．[自主解答] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴
44、a
45、2－
46、b
47、2＝，又∵
48、a
49、＝1，∴
50、
51、b
52、＝＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝45°.即a与b的夹角为45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，∴
53、a－b
54、＝，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，∴
55、a＋b
56、＝，设a－b与a＋b的夹角为α，12则cosα＝＝＝.思考：若a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线且方向相同，∴λ≠0，即λ＞－且λ≠0.变式训
57、练：已知向量4a－2b＝(－2,2)，c＝(1，)，a·c＝3，
58、b
59、＝4，求向量b与c的夹角α.解：∵4a－2b＝(－2,2)，c＝(1，)，∴(4a－2b)·c＝－2＋6＝4，即4a·c－2b·c＝4.又∵a·c＝3，∴2b·c＝4a·c－4＝4×3－4＝8，∴b·c＝4，∴cosα＝＝＝.又∵α∈[0，π]，∴α＝.考点三平面向量的垂直问题已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．[自主解答] ∵a＝(，－1)，b＝(，)，∴
60、a
61、＝＝2，
62、b
63、＝＝1.12又∵
64、a·b＝×＋(－1)×＝0，∴a⊥b.由x⊥y得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·
