多维随机变量及其分布1

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1、联合分布边沿分布条件分布第三章多维随机变量及其分布独立性随机变量函数的分布本章着重讨论二维随机变量,它的很多结论不难推广到n大于2的情形.前面我们讨论了一个随机变量的情况,但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究儿童的身体发育情况，需要同时考虑身高X和体重Y.又如，考察某地区的气候情况，需要同时考虑气温X1，气压X2，风力X3和湿度X4四个随机变量.二维随机变量§3.1定义1设X,Y为定义在同一概率空间(,F,P)上的二个随机变量,则(X,Y)

2、称为二维随机变量.（也称为二维随机向量）定义2设(X,Y)为一个二维随机变量,记称二元函数F(x,y)为X与Y的联合分布函数（或简称为(X,Y)的分布函数）.显然几何上,若把(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随(参见图3.1)机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形内的概率.联合分布函数F(x,y)具有下列性质：对任意固定的x,当y2>y1时,.⑴F(x,y)是变量x(或y)的单调不减函数,即对任意固定的y,当x2>x1时,.

3、对任意固定的x,.⑵对任意固定的y,⑶关于x和关于y均右连续,即;.(以上性质的证明略),有⑷对任意固定的利用分布函数及其几何意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域内的概率为（如图）（x2,y2）（x2,y1）（x1,y1）（x1,y2）yy2y1x1x2xO0可以证明，若二元实值函数F(x,y)具有以上注:二维随机变量(X,Y)的联合分布函数必须满足四条性质,而一维随机变量X的分布函数只须满足三条性质.四条性质，则必存在随机变量X和Y，使F(x,y)是(X,Y)的联合分布函数.例1判断二元

4、函数是否是某二维随机变量的分布函数.F(x,y)对任意的x1

5、合分布律还可以写成如下表格形式：YXx1x2...xi...y1p11p21...pi1...y2p12p22...pi2..................yjp1jp2j...pij.....................(2).可以证明，若数集具有以上两条性质,则它必可作为某二维(X,Y)的分布律具有下列性质：(1)离散型随机变量的分布律.例2设(X,Y)的分布律为求a的值.XY12311或.解：由分布律性质所以即（负值舍去）的联合分布律可求得它的联合分布函数F(x,y).此时有根据(

6、X,Y)的联合分布函数F(x,y)的定义,由(X,Y).例3设(X,Y)的求:(1)P{X=0}(2)P{Y2}(3)P{X<1，Y2}(4)P{X+Y=2}XY12300.10.10.310.2500.25分布律为解:(1)且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}两两互不相容,所以P{X=0}==0.1+0.1+0.3=0.5{X=0}={X=0,Y=1}{X=0,Y=2}{X=0,Y=3}P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}且事件两

7、两互不相容,{X=0,Y=1},{X=1,Y=1},{X=0,Y=2},{X=1,Y=2}所以(3)且事件所以(4)互不相容解:X与Y的可能值均为1,2,3,利用概率乘法公式,.例4现有1,2,3三个整数,X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数,Y表示从1至X中随机抽取的一个整数,试求(X,Y)的分布律.可得(X,Y)取各对数值的概率分别是类似地有XY123123而{X=1,Y=2}及{X=1,Y=3},{X=2,Y=3}为不可能事件,所以其概率为零,即(X,Y)的分布律为例5(二维两点分布)设

8、X,Y由下表给出YX0101二维两点分布显然满足联合分布率的两条性质.称（X,Y）服从二维两点分布.(0