多维随机变量及其分布.ppt

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1、课件制作：应用数学系概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布二维随机变量（X,Y）(X,Y)的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X二维随机变量的联合分布函数定理：的性质（1）关于x或y非降（4）关于x或y右连续（2）（3）（5）对,有二维随机变量（X,Y）离散型i,j=1,2,…X和Y的联合概率分布列k=1,2,…离散型一维随机变量Xk=1,2,…X的概率分布列(X,Y)的联合概率分布列的表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pi

2、j………………Y二维随机变量（X,Y）离散型X和Y的联合分布函数离散型一维随机变量XX的分布分布函数设二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为,则连续型一维随机变量XX的概率密度函数不难得出，对连续型随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：在f(x,y)的连续点设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.例两个常见的二维分布：若二维随机变量（X,Y）具有概率密度记作（X,Y）～N()则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.其中均为

3、常数,且一般，对二维离散型随机变量(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘概率分布列为X和Y的联合概率分布列为P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)同理一般地,记:我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的关系：由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.对任意随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布函数为则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为对离散型随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布函数为则(

4、X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为对连续型随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布函数为则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为易知一、离散型随机变量的条件分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为：P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...由条件概率公式称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.其中P{Y=yj}>0,自然地引出如下定义：同样条件分布律具有分布律的以下特性：10P{X=xi

5、Y=

6、yj}0；定义：给定y，设对于任意固定的正数，存在，P{y-0,若对于任意实数x，极限则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写成P{Xx

7、Y=y}，或记为FX

8、Y(x

9、y).称为在条件Y=y下X的条件分布函数.条件密度函数的性质设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两个随机变量独立的定义是：用分布函数表示,即设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.若(X,Y)是

10、离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即其中是X,Y的联合密度，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型随机变量则上述独立性的定义等价于：分别是X和Y的边缘密度一、离散型分布的情形若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…和的分布：Z=X+Y设X和Y的联合密度为f(x,y)

11、,求Z=X+Y的密度Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.二、连续型分布的情形和的分布：Z=X+Y化成累次积分,得由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式.