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1、第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性随机变量函数的分布1二维随机变量例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。问题的提出2例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。3定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机
2、变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。Se4§1二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。（一）联合概率分布5y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示：离散型随机变量的联合概率分布律：6分布律的性质7例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，
3、试求(X,Y)的联合概率分布。8解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。9YX123440001¼⅛20⅛300即(X,Y)的联合概率分布为：10对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为X,Y的边际（边缘）分布律为：（二）边际分布11…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1注意：1213X0210.050.800.15p010120.760.040.11250.03750.0150.0350.8
4、00.150.050.88750.112511415（三）条件分布16由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。17定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的，18同样，对于固定的，19求：(1)a,b的值；(2){X=2}条件下Y的条件分布律；(3){X+Y=2}条件下X的条件分布律。YX-1100.2a0.2120.10.1b例4：(X,Y)的联合分布律为20解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.42122例5：盒子里装有3只黑球，2只红球，1只白球，在其中不放回任取2球，以X表示取到黑
5、球的数目，Y表示取到红球的只数。求:(1)X，Y的联合分布律；(2)X=1时Y的条件分布律；(3)Y=0时X的条件分布律。若采用放回抽样呢？23解：采用不放回抽样，X,Y的联合分布律为XY01201202/151/153/156/1503/15001/53/51/56/158/151/151Y011/32/3X01201/21/224采用放回抽样，X,Y的联合分布律为XY0120121/364/364/366/3612/3609/36001/41/21/44/94/91/91Y011/32/3X0121/166/169/1625例6：一
6、射手进行射击，击中目标的概率为射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。26解：2728290称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。§2二维随机变量的分布函数（一）分布函数定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，二元函数30分布函数的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)31x2y1x1y232二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数,记为：称为边缘分布函数。（二）边
7、际（边缘）分布函数33事实上，34定义：条件分布函数（三）条件分布函数3536§3二维连续型随机变量（一）联合概率密度373839例1：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：40414243例2：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为444546对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为（二）边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为：对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为47事实上，同理：48例3：(续上例)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为4950定义：条件概率密度（三）条件概率密度5152事实上，53例4：设有一件工作需要
8、甲乙两人接力完成，完成时间不能超过30分钟。设甲先干了X分钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若X~U(0,30)，在X=x条件下，Y~U(x,30)。(1)求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密度；(2)
