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1、多维随机变量及其分布前面我们所讨论的随机变量都是一维的，即它们的值仅用一个数来确定。但是在很多实际问题中，许多随机试验的结果都需要用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，射击时击中点的坐标；某个地区的气象情况（包括气温，气压，温度等）等。因此，我们需要研究多维随机变量。为了不使问题的形式变得复杂，我们仅研究二维随机变量的一些问题，至于更高维，一般可以类推.4.1二维随机变量的分布函数一．二维随机变量的分布函数定义：设是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数为二维随机变量(X,Y)的分布函数(或称联合分布函数).通常在进
2、行理论研究时，我们往往把二维随机变量看成平面上的随机点的坐标。若将看成平面上的随机点的坐标，则我们可以从图形上得到分布函数的几何意义以及概率计算的公式.1.几何意义F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。如图4-12.概率计算对于任意的有如图4-24-14-2定理4.1二维联合分布函数必具有如下四条基本性质：（1）单调性：分别对或是单调不减的，即当时有；当时有.（2）有界性：对任意的和，有，且（3）右连续性对每个变量都是右连续的，即.（4）非负性对任意的有注：二维联合分
3、布函数必具有以上四条基本性质；同样可以证明具有以上性质的二元函数一定也是某个二维随机变量的分布函数.一．边缘分布函数对于二维随机变量，其分量X,Y的分布函数分别记为，分别称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数（或称边际分布函数）即下面我们把二维随机变量分成离散型与连续型两类来讨论。4.2二维离散型随机变量及其分布一．二维离散型随机变量的联合概率分布定义：如果二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限或可列个实数对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为，则称为二维离散型随机变量(X
4、,Y)的联合分布律（或称分布律）。二维离散型随机变量(X,Y)的分布律也可以用如下的分布表给出：YX…………………………………………………………………………………………………………联合分布律的基本性质：（1）非负性（2）正则性二、边緣分布律若二维离散随机变量的联合分布列为则称为关于X的边缘分布律，记作为关于Y的边缘分布律，记作通常我们把与直接写在联合分布律表的边缘上，这也正是边缘分布名称的由来。注：已知的联合分布律，我们对一切满足的求和可以求出分布函数例1．在一箱中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次取一只，考
5、虑如下两种情况（1）放回抽取（2）不放回抽取，我们定义随机变量X和Y如下：试分别就(1)和(2)两种情形，写出X和Y联合分布律和边缘分布律。解：由X和Y的定义，我们可以知道(X,Y)所有可能取得值有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(1)有放回抽取再结合边缘分布律和联合分布律的关系，我们可以写出如下的分布表：YX0101(2)无放回抽取再结合边缘分布律和联合分布律的关系，我们可以写出如下的分布表：YX01014.3二维连续型随机变量及其分布一．二维连续型随机变量的概率密度定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y
6、)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意实数x,y有则称为连续型二维随机变量，且称为的联合概率密度（或称概率密度）.与一维情形相类似，概率密度函数具有以下的性质：二．边缘概率密度若的概率密度已知，由边缘分布函数的定义知则是一个连续型随机变量，其概率密度为同理，也是一个连续型随机变量，其概率密度为我们分别称为关于和的边缘概率密度。下面，我们介绍两种常用的二维连续型随机变量的分布：1．二维均匀分布设是平面上面积为的区域，称在上服从均匀分布即它的概率密度满足：例1：设服从平面上圆域上的均匀分布，（1）求分布函数（2）
7、求关于和的边缘概率密度。解：由题意，的概率密度为（1）则由前面的定义，当时==则（2）同样由定义可得=同理可得2.二维正态分布若随机变量的概率密度函数为 其中都是参数，且，则我们称服从参数的二维正态分布，记为注：1.二维正态分布的密度函数的图像（图4-3）类似于山岗，在处达到最高峰图4-32.通过计算，我们可以得到关于和的边缘概率密度：这个结果表明，二维正态分布的边缘分布服从一维正态分布;同时也表明由联合分布可以得到边缘分布，但是由边缘分布不一定能得到联合分布.三．随机变量的独立性由事件的独立性，我们可以引入随机变量的独立
8、性概念，这是概率统计中的一个十分重要的概念。定义：设分别是二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数，若对任意的实数有成立，则称随机变量与相互独立.由独立的定义我们可以得到如下两个结果：是离散型：是连续型：例2：设的分布律为YX12312求：解：(1)由联合分布律的基本性质我们可以知道：(2
