多维随机变量及其分布2

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1、1概率论与数理统计2第三章多维随机变量及其分布3§1二维随机变量4在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W.在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童},而H(e),和W(e)是定义在S上的两个随机变量.又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量.5一般,设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由

2、它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量.SeX(e)Y(e)6定义设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.(x,y)xyO7易知,随机点(X,Y)落在矩形域[x1x1时F(x2,y

3、)F(x1,y);对于任意固定的x,当y2>y1时F(x,y2)F(x,y1).2:0F(x,y)1,且对于任意固定的y,F(-,y)=0,对于任意固定的x,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.3:F(x,y)关于x和关于y都右连续.4:任给(x1,y1),(x2,y2),x1

4、,Y)所有可能取的值为(xi,yj),i,j=1,2,...,记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则由概率的定义有10称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量X和Y的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律.也可用表格表示X和Y的联合分布律:YXx1x2...xi...y1p11p21...pi1...y2p12p22...pi2..................yjp1jp2j...pij.....................11例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量

5、Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律,易知{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数,且12于是(X,Y)的分布律为YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1613将(X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.补充例题:求例1中随机变量X和Y的联合分布函数.解:由例1所求的随机变量X和Y的联合分布律得随机变量X和Y的联合分布函数为:1415二.

6、(X,Y)是二维连续型的随机变量与一维随机变量相似,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.16按定义,概率密度f(x,y)具有以下性质:1:f(x,y)0.3:设G是xOy平面上的区域,点(X,Y)落在G内的概率为4:若f(x,y)在点(x,y)连续,则有17由性质4,在f(x,y)的连续点处有18这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续,则当Dx,Dy很小时P{x

7、Yy+Dy}f(x,y)DxDy,即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概率近似等于f(x,y)DxDy.在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面,由性质2知,介于它和xOy平面的空间区域的体积为1,由性质3,P{(X,Y)G}的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积.20例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{YX}.解(1)21(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有{YX}={(X,Y)G},其中G为xOy平面上直