多维随机变量及其分布(续2).ppt

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1、重点：对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算.难点：对不相关与相互独立间关系的理解.§4多维随机变量的特征数多维随机变量函数的数学期望定理1设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解:例2:设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为求:E(XY)解:∵g(X,Y)=XY,X和Y相互独立.数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),讨论X+Y的方差

2、1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E[XE(X)][YE(Y)]3.当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)]=0.4.当X与Y独立时，Var(XY)=Var(X)+Var(Y).2.E[XE(X)][YE(Y)]=E(XY)E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.课堂练习1X与Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则Var(2XY)=().27课堂练习2X~P(2)，Y~N(2,4)，X与Y独立，则E(XY)=();E(XY)2=().4223.4.3协方差定义1称Co

3、v(X,Y)=E[XE(X)][YE(Y)]为X与Y的协方差.Cov(X,Y)＜0,X与Y负（线性）相关Cov(X,Y)＝0,X与Y不（线性）相关Cov(X,Y)>0,X与Y正(线性）相关注：协方差的性质(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(2)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)(5)Cov(X,a)=0.(7)Cov(X+Y,Z)=Cov

4、(X,Z)+Cov(Y,Z).解：记“Xi=1”=“第i个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第i个人未拿对自己的礼物”配对模型的数学期望和方差例5：n个人、n件礼物，任意取.X为拿对自已礼物的人数，求E(X),Var(X)。则因为E(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因为所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得又因为所以先计算E(XiXj),XiXj的分布列为所以相关系数定义2称Corr(X,Y)=为X与Y的相关系数.例6:设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1

5、2,σ22,ρ),求X和Y的相关系数.解:注:若(X,Y)服从二维正态分布,则X和Y相互独立的充要条件是ρ=0.设(X,Y)的概率密度为p(x,y),则相关系数的性质(1)1Corr(X,Y)1.(2)Corr(X,Y)=1X与Y几乎处处有线性关系。P(Y=aX+b)=1Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：注意点Corr(X,Y)接近于1，X与Y间正相关.Corr(X,Y)接近于1，X与Y间负相关.Corr(X,Y)接近于0，X与Y间不相关.没有线性关系例6：设(X,Y)的联合分布列为X101Y

6、1011/81/81/81/801/81/81/81/8求X,Y的相关系数.解:=0同理=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面=1/81/81/8+1/8=0所以Cov(X,Y)即Corr(X,Y)=0E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=0例7：(X,Y)~p(x,y)=求X,Y的相关系数.解:=7/6=5/3所以,Var(X)=Var(Y)=11/36=4/3二维正态分布的特征数(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y独立=0.(2)参数为X和Y的相关系数;(4

7、)不相关与独立等价.课堂练习：设（X,Y)服从区域上的均匀分布，求X与Y的协方差及相关系数。2002年数学三填空（4）：设(X,Y)的联合分布列为X01Y1010.070.180.150.080.320.20则和的协方差2003年数学三填空（5）：设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为？2004年数学一选择（14）：设随机变量X1，…，Xn独立同分布，令则