多维随机变量及其概率分布

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1、本章要求多维随机变量的概念随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其概率分布本章要求:1.理解二维离散型随机变量的分布律及其性质;2.理解二维连续型随机变量的概率密度函数及其性质;3.理解边缘分布律、边缘概率密度函数的概念，掌握求边缘分布律以及边缘概率密度函数的方法;4.会判断随机变量的独立性;5.了解两个随机变量的和的分布的求法;本章重点:联合分布律,概率密度函数,边缘分布律,边缘概率密度函数,随机变量的独立性.从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我

2、们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.3.1多维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称

3、为二维随机变量的分布函数,或者称为随机变量和的联合分布函数.定义1设是二维随机变量,二维随机变量的分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩形域内的概率为或随机变量X和Y的联合分布律.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,

4、3.1.2二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布律具有性质也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.例把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为离散型随机变量的边缘分布律(X,Y)关于Y的边缘分布律为例把一枚均匀硬币抛

5、掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=

6、1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.连续型一维随机变量XX的概率密度函数定义3对于二维随机变量的分布函数则称是连续型的二维随机变量,函数称为二维（X,Y)的概率密度,随机变量3.1.3二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度存在非负的函数如果任意有使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或二维连续型随机变量的概率密度具有性质（X,Y）的概率密度的性质:在f(x,y)

7、的连续点,例设(X,Y)的概率密度是(1)求分布函数(2)求概率.积分区域区域解(1)当时,故当时,(2)例设随机变量(X,Y)的概率密度是(1)确定常数(2)求概率.解(1)故(2).对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为事实上,连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为例设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.(2)当时当时,暂时固定注意取值范围综上,当时,例设

8、(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.暂时固定综上,注意取值范围在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密