第三章_多维随机变量及其概率分布

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1、第三章多维随机变量及其概率分布考试内容多维随机变量及其分布　二线离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布　二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度　随机变量的独立性和不相关性　常用二维随机变量的分布　两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质。理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维随机型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维连续型随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关的概念

2、，掌握随机变量独立的条件．3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N（μ1，μ2，σ21，σ22，ρ）的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布．一、主要内容讲解1、联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布28函数F(x,y)具有以下的基本性质：①单调性：.②有界性：对.

3、③右连续性：.④非负性：对有例3．1：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？（A）（B）（C）（D）[C]分析：C不满足非负性，〔F(1,1)-F(0,1)-F(1,0)+F(0,0)=-1〕2、离散型随机变量及其联合分布设离散型随机变量和的一切可能的集合为，则称，…为二维随机变量（X,Y）的联合分布列，或以列联表的形式表示：28…Y………X……………………………………基本性质①非负性：；②正则性：.例3.2：设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1～X

4、中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律；求P{Y=2}解：X、Y的可能取值为1,2,3,4.且YX12341000200304P{Y=2}=例3.3设随机变量，且满足则（A）28(A)0;(B)1/4;(C)1/4;(D)1【评注】在理解二维随机变量和二维随机变量的分布函数等概念的基础上，确定（X，Y）的所以可能取值。可以由定义与古典概率方法求出，但有时要借助与事件的关系与运算的性质，如和、差、积、独立性与全概率公式。3、分布列与分布函数的互化例3.4（1）设的联合分布列为YX12011102求.分析：

5、注意区间的写法：左闭右开.28（2）设求的联合分布列。4、连续型随机变量及其联合分布定义：如果存在二元非负函数，使得二维随机变量（X,Y）的分布函数可表示为：，则称（X,Y）为二维连续随机变量，为其联合密度函数。基本性质①非负性：0；②正则性：.③（概率计算时常用）④在偏导存在的点（或在连续点）处有：二维随机变量的本质：例3.5设（X,Y）的联合密度函数为，试求：①P(X<1，Y>1)；②P(X>Y).解：P(X<1，Y>1)＝；P(X>Y)＝（积分区域如下图所示）。28OD21O1D15、离散型与连续型的关

6、系6、密度函数与分布函数的互化：在存在点处，；其他点处任意取值.：[特别要注意积分区域的划分].例3.6已知随机变量X和Y的联合概率密度为，求随机变量X和Y的联合分布函数解：(1)对于=0(2)对于=1(3)对于(4)对于(5)对于所以28例3.7（1）设，求〔〕（2）求在上服从均匀分布的随机变量的密度函数和分布函数，其中为所围成的三角形区域。解：所以，10练习已知随机变量X和Y的联合概率密度为28，求：（1）；（2）7、边缘分布组成二维随机变量（X，Y）的随机变量X，Y各自的分布函数称为二维随机变量（X，Y

7、）的随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数。离散型：X的边缘分布为：；注：〔全概率公式〕Y的边缘分布为：。连续型：X的边缘分布密度为：Y的边缘分布密度为：8、条件分布离散型：在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型：在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为28例3.8设二维随机变量（X，Y）的联合分布列为XY12312301/61/121/51/902/151/41/18求：（1）X和Y的边缘分布列；（2）Y=1下X的条

8、件分布列例3.9：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度和X的边缘密度解：y=-x+1y=-x-1x+y=x-1y=x+1例3.10设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布，每个顾客购买某种商品的概率为，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y的分布列。解：X的分布为，由题意知，在的条件下，Y的条件分布的是二项分布，即28