第三章 多维随机变量及概率分布

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1、第三章多维随机变量及概率分布3.1　二维随机变量的概念　　3.1.1　二维随机变量及其分布函数　　到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。　　定义3.1　2个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。　　定义3.2　（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）

2、叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。记作（X，Y）～F（x,y）。　　（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。　　因为X<+∞，Y<+∞即-∞

3、或可列无穷多对（xi，yj），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。　　设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：　　P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…），　　称P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。　　（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：　　　　（X，Y）的分布律具有下列性质：　　（1）pij≥0（i，j=1，2，…）；　　（2）　　反之，若数集{Pij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性

4、质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。　　[例3-1]设（X，Y）的分布律为　　　　求a的值。　　解　由分布律性质知，　　　　则　6a2+a-1=0，（3a-1）（2a+1）=0，　　解得或（负值舍去），所以。　　由（X，Y）的分布律可求得它的分布函数F（x,y），实际上　　　　[例3-2]设（X，Y）的分布律为　　　　求：（1）P{X=0}；（2）P{Y≤2}；（3）P{X<1，Y≤2}；（4）P{X+Y=2}。　　解：（1）{X=0}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}，且事件{X=0,Y=1}，{X=0,Y

5、=2}，{X=0,Y=3}两两互不相容，所以　　P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.　　（2）{Y≤2}＝{Y=1}∪{Y=2}　　={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}∪{X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，　　且事件{X=0，Y=1}，{X=1，Y=1}，{X=0，Y=2}，{X=1，Y=2}两两互不相容，所以P{Y≤2}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=1}+P{X=0，Y=2}+P{X=1，Y=2}=0.1+0.25+0.1+0=0.45.　　（3）{

6、X<1，Y≤2}={X=0，Y=1}∪{X=0，Y=2}，且事件{X=0，Y=1}，{X=0，Y=2}互不相容，所以　　P{X<1，Y≤2}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=2}=0.1+0.1=0.2。　　（4）{X+Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=1}，类似可得　　P{X+Y=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=1，Y=1}=0.1+0.25=0.35.　　［例3-3］现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y=K表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X，Y）的分布律。　　解　X与Y的可能值均为1

7、，2，3，利用概率乘法公式，可得（X，Y）取各对数值的概率分别是：　　P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1

8、X=1}=，　　类似地有这P（X=1，Y=2）=0　　　　P（X=1，Y=3）=0　　　　　P（X=2，Y=3）=0　　　　　　　　　而{X=1，Y=2}，{X=1，Y=3}，{X=2，Y=3}为不可能事件，所以其概率为零，即{X，Y}的分布律为　　定义3-4对于离散型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的分布律称为（X，Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为Pi·（i=1，2，…）（或P.j（j=1，2，…）），它可由（X，Y）的

9、分布律求出，事实上，　　Pi·=P{X=xi}　　=P{X=xi,Y=yj}+P{X=xi,Y=y2}+…+P{X=xi,Y=yj}+…　　=　　即（