多维随机变量及分布[概率与统计

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1、第三章多维随机变量及其分布从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.例1在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(平面直角坐标系的两个坐标)（X，Y）来确定.例2运行的人造卫星在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)（X，Y，Z）来确定.到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。为研究这类随机现象的统计规律，本章引入n维随机变量的概念。定义1.1：设E为随机

2、试验，X1,X2,…,Xn是E的n个随机变量，则称向量(X1,X2,…,Xn)为E的n维随机变量，Xi称为第i（i=1,2,…,n）个分量。特别地，n=1时的一维随机变量就是第二章中的随机变量。当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y)。以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.第一节二维随机变量二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合概率分布及其边缘概率分布二维连续型随机变量的联合概率密度及其边缘密度函数第一节二维随机变量X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,或者称为随机变量和的联合分布

3、函数.定义1.2设是二维随机变量,1.1二维随机变量的分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩形域内的概率为(1)对任意的x和y都有：0F(x,y)1(x,y)xyo且对任意固定的y有：对任意固定的x有：(2)F(x,y)分别是变量x或y的不减函数。即：对任意固定的y，当x2>x1时，F(x2,y)F(x1,y)对任意固定的x，当y2>y1时，F(x,y2)F(x,y1)(3)F(x,

4、y)分别关于x和y右连续。(4)当x1

5、二维离散型随机变量的联合概率分布或随机变量X和Y的联合分布律.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律k=1,2,…定义1.3的值是有限对或可列无限多对,为二维离散型随机变量.则称设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.yjy2y1x1x2xip11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pijYX二维离散型随机变量的分布律具有性质1-1YXa20a/61/41/31/4132例设（X,Y）的

6、分布律为：求a.P61例1将两封信随机地往四个邮筒内投放，每封信被投进这四个邮筒的可能性相同。用X，Y分别表示投入第一个和第二个邮筒的信的数目，试求(X,Y)的联合概率分布.解（1）X可取值0,1,2;Y可取值0，1,2(X,Y)可取值(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)00YX01/16001/41/41/161/41/81221（X,Y）的联合概率分布表：产品中任取4件产品,求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。解设X及Y分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数,则有

7、由此得(X,Y)的二维概率分布如下：其中:i=0,1,2,3;j=0,1,2,3,4;2i+j4.补例已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品。从这些012340123000000000解P67Ex2无放回取球两次，以X、Y分别记第一次、第二次一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，取得的球上标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=xi，Y=yj)=pij(i,j=1,2,)2二维离散型随机变量的边缘概率分布则yjy2y1x1x2xip11p12p1

8、jp21p22p2jpi1pi2pijYX1p(X=xi)p1*p2*pi*p(Y=yj)p*1p*2p*j称为二维随机变量(