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时间:2019-11-25
《第三章 多维随机变量及概率分布》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章多维随机变量及概率分布3.1 二维随机变量的概念 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 到现在为止,我们只讨论了一维随机变量及其他布,但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述。例如,在打靶时,以靶心为原点建立直角坐标系,命中点的位置是由一对随机变量(X,Y)(两个坐标)来确定的。又如考察某地区的气候,通常要考察气温X,风力Y,这两个随机变量,记写(X,Y)。 定义3.1 2个随机变量X,Y组成的整体Z=(X,Y)叫二维随机变量或二维随机向量。 定义3.2 (1)二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
2、叫二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,简称分布函数。记作(X,Y)~F(x,y)。 (2)二维随机变量(X,Y)中,各分量X,Y的分布函数叫二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数。 因为X<+∞,Y<+∞即-∞3、或可列无穷多对(xi,yj),(i,j=1,2,…),则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),(X,Y)在各个可能取值的概率为: P{X=xi,Y=yj}=Pij(i,j=1,2,…), 称P{X=xi,Y=yj}=Pij(i,j=1,2,…)为(X,Y)的分布律。 (X,Y)的分布律还可以写成如下列表形式: (X,Y)的分布律具有下列性质: (1)pij≥0(i,j=1,2,…); (2) 反之,若数集{Pij}(i,j=1,2,…)具有以上两条性4、质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。 [例3-1]设(X,Y)的分布律为 求a的值。 解 由分布律性质知, 则 6a2+a-1=0,(3a-1)(2a+1)=0, 解得或(负值舍去),所以。 由(X,Y)的分布律可求得它的分布函数F(x,y),实际上 [例3-2]设(X,Y)的分布律为 求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}。 解:(1){X=0}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y5、=2},{X=0,Y=3}两两互不相容,所以 P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5. (2){Y≤2}={Y=1}∪{Y=2} ={X=0,Y=1}∪{X=1,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=1,Y=2}, 且事件{X=0,Y=1},{X=1,Y=1},{X=0,Y=2},{X=1,Y=2}两两互不相容,所以P{Y≤2}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=2}=0.1+0.25+0.1+0=0.45. (3){6、X<1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容,所以 P{X<1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2。 (4){X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得 P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35. [例3-3]现有1,2,3三个整数,X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数,Y=K表示从1至X中随机抽取的一个整数,试求(X,Y)的分布律。 解 X与Y的可能值均为17、,2,3,利用概率乘法公式,可得(X,Y)取各对数值的概率分别是: P{X=1,Y=1}=P{X=1}·P{Y=18、X=1}=, 类似地有这P(X=1,Y=2)=0 P(X=1,Y=3)=0 P(X=2,Y=3)=0 而{X=1,Y=2},{X=1,Y=3},{X=2,Y=3}为不可能事件,所以其概率为零,即{X,Y}的分布律为 定义3-4对于离散型随机变量(X,Y),分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律,记为Pi·(i=1,2,…)(或P.j(j=1,2,…)),它可由(X,Y)的9、分布律求出,事实上, Pi·=P{X=xi} =P{X=xi,Y=yj}+P{X=xi,Y=y2}+…+P{X=xi,Y=yj}+… = 即(
3、或可列无穷多对(xi,yj),(i,j=1,2,…),则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),(X,Y)在各个可能取值的概率为: P{X=xi,Y=yj}=Pij(i,j=1,2,…), 称P{X=xi,Y=yj}=Pij(i,j=1,2,…)为(X,Y)的分布律。 (X,Y)的分布律还可以写成如下列表形式: (X,Y)的分布律具有下列性质: (1)pij≥0(i,j=1,2,…); (2) 反之,若数集{Pij}(i,j=1,2,…)具有以上两条性
4、质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。 [例3-1]设(X,Y)的分布律为 求a的值。 解 由分布律性质知, 则 6a2+a-1=0,(3a-1)(2a+1)=0, 解得或(负值舍去),所以。 由(X,Y)的分布律可求得它的分布函数F(x,y),实际上 [例3-2]设(X,Y)的分布律为 求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}。 解:(1){X=0}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y
5、=2},{X=0,Y=3}两两互不相容,所以 P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5. (2){Y≤2}={Y=1}∪{Y=2} ={X=0,Y=1}∪{X=1,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=1,Y=2}, 且事件{X=0,Y=1},{X=1,Y=1},{X=0,Y=2},{X=1,Y=2}两两互不相容,所以P{Y≤2}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=2}=0.1+0.25+0.1+0=0.45. (3){
6、X<1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容,所以 P{X<1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2。 (4){X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得 P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35. [例3-3]现有1,2,3三个整数,X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数,Y=K表示从1至X中随机抽取的一个整数,试求(X,Y)的分布律。 解 X与Y的可能值均为1
7、,2,3,利用概率乘法公式,可得(X,Y)取各对数值的概率分别是: P{X=1,Y=1}=P{X=1}·P{Y=1
8、X=1}=, 类似地有这P(X=1,Y=2)=0 P(X=1,Y=3)=0 P(X=2,Y=3)=0 而{X=1,Y=2},{X=1,Y=3},{X=2,Y=3}为不可能事件,所以其概率为零,即{X,Y}的分布律为 定义3-4对于离散型随机变量(X,Y),分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律,记为Pi·(i=1,2,…)(或P.j(j=1,2,…)),它可由(X,Y)的
9、分布律求出,事实上, Pi·=P{X=xi} =P{X=xi,Y=yj}+P{X=xi,Y=y2}+…+P{X=xi,Y=yj}+… = 即(
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