概率论讲义多维随机变量及其分布

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1、第三章多维随机变量及其分布在很多随机现象中,只用一个随机变量来描述往往不够,而要涉及到多个随机变量.如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述,正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等.要研究这些随机变量之间的联系,就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布.本章将介绍有关这方面的内容,为简明起见,主要介绍二维情形,有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E是一个随机试验,它的样本空间是S.设X、Y是定义在S上的随机变量,则由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地,(X

2、,Y)的性质不仅与X有关,与Y有关,而且还依赖于X、Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体来研究.首先引入(X,Y)的分布函数的概念.定义设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x、y,二元函数F(x,y)=P{(X£x)∩(Y£y)}=P{X£x,Y£y}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和y的联合分布函数.分布函数F(x,y)表示事件(X£x)与事件(Y£y)同时发生的概率.如果把(X,Y)看成平面上具有随机坐标(X,Y)的点,则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..

3、由上面的几何解释,容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域{x1

4、,F(x,y+0)=F(x,y).4°对任意的(x1,y1)、(x2,y2),x1

5、变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)(i,j=1,2,3,…).记P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,3,…)则由概率定义有pij³0;.我们称P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,3,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律,(X,Y)的分布律也可用表格表示.其分布函数为=45这里表示对一切xi£x,yj£y的那些指标i、j求和.例1一个口袋中有三个球,依次标有1、2、2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个.设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求X、Y的联合分

6、布律与分布函数..解:(X,Y)的可能取值为(1,2)、(2,1)、(2,2).P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2/X=1}=.同理,有P{X=2,Y=1}=,P{X=2,Y=2}=.即(X,Y)的分布律如右表所示.当x<1,或y<1时,F{x,y}=0;当1£x<2,1£y<2时,F{x,y}=0;当1£x<2,y³2时,F{x,y}=;当x³2,1£y<2时,F{x,y}=;当x³2,y³2时,F{x,y}=1.所以,(X,Y)的分布函数为三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F{x,y},若存在非负函数f(x,y),使对任意的x、y有，则称(X,Y)为连

7、续型的二维随机变量,f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,或称随机变量X、Y的联合概率密度.概率密度f(x,y)具有以下性质:1°f(x,y)³0;2°3°若f(x,y)在点(x,y)处连续,则有4°设G是xOy平面上的一个区域,则点(X,Y)落在G内的概率为(2)例2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为求:(1)系数A;(2)分布函数F(x,y);(3)概率P{(X,Y)ÎD},其中D:x³0,