概率论与数理统计讲义第三章 多维随机变量及其分布

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1、第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,Xn(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,Xn(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互

2、关系；4．（X,Y）函数的分布。§3.1二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义3.1若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj),i，j=1,2…,取这些值的概率为pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…——(3.1)称(3.1)式为(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：YXy1y2…yj…X的边缘分布率X1p11p1

3、2p1j…P1·.X2p21p22p2j…P2·MMMMMxipi1pi2pij…Pi·MMMMMY的边缘分布率P·1p·2Mp·j…1性质：(1)pij³0，i,j=1,2,…(2)=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为pij=P{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…分量X和Y的分布律分别为pi.=P{X=xi}i=1,2,…满足①pi.³0②Spi.=1p.j=p{Y=yi}j=1,2,…①p.j³0②Sp.j=1我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边

4、缘分布律。二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律与边缘分布率有如下关系：pi.=P{X=xi}=P{X=xi,S}=P{X=xi,(Y=yj)}=P{X=xi,Y=yj}=pij(3.4)同理可得p.j=pij(3.5)例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。解：YX123X的边缘分布率11/3001/3p1·21/61/601/3p2·31/91/91/91/3p3·Y的边缘分布率11/185/181/91P·1p·2p·3二．联合

5、分布函数与边缘分布函数1．定义3.2设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令F(x,y)=P{X£x,Y£y}(3.7)则称F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。2．F(x,y)的性质：性质1对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1

6、，即对任意的实数x0和y0，均有F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=F(x,y0)。性质4若x1

7、P{X£x}=P{X£x,-2,Y>3)=1-P(X2,Y3)?三．连续性随机变量1．联合概率密度定义3.3设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y均有F(x,y)=（3.12)则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。2．f(x,

8、y)有如下性质：性质1f(x,y)³0性质2=1性质3若f(x,y)的连续点(x,y)处，有性质4若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D内记为(X,Y)D,则P{(X,Y)D}=（3.16）注：在f(x,y)非0域与D公共部分积分有非0值。P71例2例3：（第一版书上例3.3）设(X,Y)的联合概