《概率论与数理统计》第三章多维随机变量及其分布

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1、第三章多维随机变量及其分布-1-第一节多维随机变量及其概率分布-2-一多维维随机变量及其分布函数-2-二二维离散型随机变量及其概率分布-4-三二维连续型随机变量及其概率分布-8-基础练习3.1-12-第二节条件分布与随机变量的独立性-12-一条件分布与独立性的概念-12-二二维离散型随机变量的条件分布与独立性-13-三二维连续型随机变量的条件分布及其独立性-16-四*多维随机变量的概率分布及其独立性-20-基础训练3.2-22-第三节二维随机变量函数的分布-22-一离散型随机变量的函数分布-22-二连续型随机变量的函数分布-24-基础训练3.3-31-综合训

2、练三-31-内容小结及题型分析三-31-拓展提高三-31-阅读材料三-31-数学实验三-31-第三章多维随机变量及其分布【本章导读】本章是在一维随机变量基础上，进一步讨论多维随机变量，以二维随机变量为重点，讨论了基本概念性质、边际分布、联合分布等问题及应用，随机变量的独立性及函数的分布.【本章用到的先修知识】二重积分，混合偏导.【本章要点】二维离散型、连续型随机变量的概念、性质、联合分布与边际分布，独立性，函数的分布.在第二章中，我们主要讨论了一维随机变量及其概率分布。但在实际应用和理论研究中，我们所感兴趣的许多现象，其每次试验的结果仅用一个随机变量描述还不

3、够，往往要用两个或两个以上的随机变量来描述.例如：炮弹在地面的命中点的位置需要研究弹着点的两个坐标，每个坐标可以定义一个随机变量；研究市场供给模型时，需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素，每一个因素都可以定义一个随机变量.在这种情况下，我们不仅研究每个随机变量的统计规律，而且还需要研究各个随机变量之间的相互依存关系，因而需要考察它们联合取值的统计规律，即多维随机变量的概率分布.本章我们主要介绍二维随机变量及其分布，并适当推广到维随机变量.-31-第一节多维随机变量及其概率分布一多维维随机变量及其分布函数由于从二维推广到三维及以上没有实际性的困难

4、，所以本节我们重点讨论二维随机变量.1、二维随机变量定义1设随机试验的样本空间，为样本点，而，是定义在上的两个随机变量，则由它们构成的一个二维向量称为二维随机变量或二维随机向量.二维向量的性质不仅与及有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因此，逐个讨论和的性质是不够的，需把作为一个整体来讨论.随机变量常称为一维随机变量.和一维的情形类似，我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.2、二维随机变量的分布函数定义2设为二维随机变量，对于任意实数、，二元函数（3.1）称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.几何意义：若把二维随机变量看成平面

5、上随机点的坐标，则分布函数在处的函数值就是随机点落入以为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率（见图3-1）而随机点落在矩形区域（见图3.2）内的概率可用分布函数表示为（3.2）联合分布函数的性质:（1）规范性且对任意固定的，对任意固定的，；（2）关于和均为单调不减函数,即-31-对任意固定的当；对任意固定的当；（3）关于和均为右连续,即；（4）对于任意，有.【注1】对任意满足上述四条件的二元函数，都可作为某二维随机变量的分布函数.3、边缘分布函数二维随机变量作为一个整体具有联合分布函数.而和都是随机变量，各自也有它们的分布函数，把和的分布函数分别记为和

6、，并分别称为随机变量关于和的边缘分布函数.由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系.（3.3）.（3.4）图3-4图3-3【注2】由此可知，由联合分布可以唯一确定边际分布函数，反之，不一定成立.【例1】设二维随机变量的联合分布函数为，其中、、为常数，.（1）试确定、、的值；（2）求和的边缘分布函数；（3）求.【解】（1）由联合分布函数的性质(2)，知-31-由此可解得（2）由定义直接可知（3）由的分布函数，得对于二维随机变量，我们除了可以用联合分布函数讨论其概率分布以外，还需要分别对离散型和连续型随机变量进行讨论.二二维离散型随机变量及其概率分

7、布1.定义若二维随机变量只取有限个或可数个值,则称为二维离散型随机变量.结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.设是二维离散型随机变量，其所有可能取的值为，.则称（3.5）为二维离散型随机变量的联合分布律.其中满足下列性质（1），（2）.与一维的情形相似，人们常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布律写成表格的形式（见表3.1）表3.1联合概率分布律-31-1利用联合分布律能够方便地确定取值于任何区域上的概率，即（3.6）特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数:（3.7）但联合分布律比联合分布函数更加直观，且能更方便地求出随机变量取值的概率

8、，因此对于二维离散型随机变量联合分布律更重要.2.边