资源描述：
《浙大概率论与数理统计课件_第三章多维随机变量及其分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量小结从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)（X，Y）来确定的.飞机的重心在空中的
2、位置是由三个r.v(三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等.一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,或者称为随机变量和的联合分布函数.定义1设是二维随机变量,一、二维随机变量的分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩
3、形域内的概率为或随机变量X和Y的联合分布律.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布律具有性质也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,
4、Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8连续型一维随机变量XX的概率密度函数定义3对于二维随机变量的分布函数则称是连续型的二维随机变量,函数称为二维（X,Y)的概率密度,随机变量三、二维连续型随机变量存在非负的函数如果任意有使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或（X,Y）的概率密度的性质在f(x,y)的连续点,例2设(X,Y)的概率密度是(1)求分布函数(2)求概率.当时,故当时,(2)第二节边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度小结二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布
5、函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机一、边缘分布函数一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}
6、=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为例2设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故注意取
7、值范围综上,当时,例2设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.暂时固定综上,注意取值范围在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.1、设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.2、若二维随机变量（X,Y）具
8、有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二
