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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量在有些随机现象中，每次试验的结果不能只用一个随机变量来描述，而要同时用几个随机变量来描述。如对于钢的成分的研究，需要同时指出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研究它们之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量（即多维随机变量）及其取值规律---多维分布。本章着重介绍二维的情况，至于二维以上的情况可由二维类似推得。一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是S，再设X和Y是定义在S上两个随机变量。由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖
2、于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地研究X和Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。和一维的情况类似，我们也是借助于“分布函数”来研究二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和Y的联合分布函数。xy(x,y)xy(x2,y2)(x1,y1)分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)F(x,y)是变量x,y的单调不减函数，即对于任意固定的y,当x2>x1时,有对于任意固定的x,当y2>y1时,有(2)对于任意固定的y，有对于任意固定的x，有(3)F
3、(x,y)关于x右连续，关于y也右连续，如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或无限可列对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为则称上述一系列等式为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律，或随机变量X和Y的联合概率分布律。显然有：随机变量X和Y的联合概率分布律也可用表格表示XY例1：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。解：(X,Y)的所有可能的取值为：X等可能地取1,2,3,4中的一个，Y等可能地取1到X之间的
4、整数值。即可写出对应的概率分布表。离散型随机变量X和Y的联合分布函数F(x,y)具有形式：与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y),使得对任意的实数x,y，有则称(X,Y)是连续型二维随机变量，而f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。联合概率密度f(x,y)具有以下的性质：(4)设G是xoy平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G内的概率例2：设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为解：例2：设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为解：xyy=xGG1课外习
5、题第70页15，17第二节边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。但X，Y都是随机变量，分别也有自身的分布函数。如将它们分别记为则依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。同理可得对于离散型随机变量(X,Y),记分别称上述两式为二维离散型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。对于二维连续型随机变量(X,Y)，设其概率密度为f(x,y)。知X是一连续型随机变量，具有概率密度函数为同理,Y也是一连续型随机变量,其概率密度函数为它们分别被称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数。例1：设二
6、维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：求关于X和关于Y的边缘分布律。XY例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：求关于X和关于Y的边缘分布密度。解：1y=x例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：求关于X和关于Y的边缘分布密度。解：1y=x例3：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：则可求得由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖参数,亦即对于给定的不同的对于不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。这一事实表明，由联合分布可确定边缘分布，但反之不然。课外习题第70页18(1,2,3)*第三
7、节条件分布*设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为我们来考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率：显然易知，上述条件概率具有分布律的特征：于是，我们有定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的j，为在条件下随机变量X的条件分布律。同理，对于固定的i，为在条件下随机变量Y的条件分布律。现设(X,Y)是二维连续型随机变量，这时由于对任意的X,Y,有因此不能由条件概率公式直接引入“条件分布函数”，下面我们用极限方式来处理。给定y，于是对任意x，有由此引入下述定义：定义：给定y，且对任意x，极限则称此极限为在条
8、件Y=y下随机变量X的条件分布函数，设(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密
