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1、第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量的概率分布三、计算下列各题1.已知随机变量的联合密度为,求的联合分布函数。解因为2.一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出的概率分布律。解.3.给定非负函数,问是否是随机变量的联合概率密度?说明理由。解是的联合概率密度只要满足≥0与所以是随机变量的联合概率密度。4.设随机变量()的联合密度为，求：（1）系数k；（2）；（3）；（4）。解：（1）（2）（3）（4）=5.设随机变量()的联合密度为,求(1)系数,(2)概率。解6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3
2、个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，（1）求；（2）求二维随机变量的概率分布。解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球；（2）X，Y的取值范围为0,1,2，故XY01201/41/61/3611/31/9021/900§3.2边缘分布§3.3条件分布§3.4随机变量的独立性三、计算下列各题1.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。解：由题意，则由概率
3、的乘法公式有因此XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/412.设二维随机变量的概率密度为（1）求关于的边缘概率密度.（2）问是否独立？3.设二维随机变量的概率密度为求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2）。解：（1）由于（2）4.设二维随机变量的概率密度为（1）求常数；（2）求关于的边缘概率密度，（3）问是否独立？解即5.雷达的圆形屏幕的半径为，设目标出现点在屏幕上均匀分布，（1）求的边缘概率密度，（2）问是否独立？6.设二维随
4、机变量的概率密度为，求（1）常数（2）随机变量的边缘密度，（3）概率。解（1）.，(3).7.已知随机变量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.（1）求的联合分布，（2）问是否独立？为什么？解YX-101P．j0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（1）设的联合分布为YX-10101/401/4101/208.设X与Y为两个相互独立的随机变量，X在区间上服从均匀分布，Y的概率密度为，求：（1）X与Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率。解：（1）（2）含有a的二次方程为有实根的充要条件为.而四、证明题设随机变量具有分布
5、函数，证明：X与Y相互独立。证明：§3.5两个随机变量函数的分布三、计算下列各题1.设两个独立随机变量的分布律为,解由独立性可得（）（1，2）（1，4）（3，2）（3，4）0.180.120.420.283557–1–31–1所以的分布律为,的分布律为2.设独立,服从均匀分布,的概率密度.(用标准正态分布函数表示)。解由已知的密度函数为Y在[-π,π]服从均匀分布,则,X和Y独立,由公式3．设随机变量相互独立，且求的概率密度。解∵独立，∴又∵=>，令，则4.已知随机变量服从二维正态分布,其联合密度为,,求随机变量的概率密度函数。解5.已知随机变量X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分
6、布，求的概率密度函数。解：∵X与Y相互独立，且，6.设随机变量的联合概率密度,求的概率密度。解.7.设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度。解：(I)(II)所以8.设二维变量的概率密度为求；求的概率密度。解：（Ⅰ），其中D为中的那部分区域；求此二重积分可得（Ⅱ）当时，；当时，；当时，当时，于是9.假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T的概率分布。解以表示第个元件无故障工作时间，则独立且分布函数为..所以T服从参数为
7、的指数分布10.随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数，(Ⅰ)求Y的概率密度；(Ⅱ)。解：（Ⅰ）；.所以：（Ⅱ）。11.某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。解：设某种商品在第i周的需求量为，由题意得相互独立，且有（1）记两周需求量为Z，即，则Z的概率密度为（2）记三周需求量为W，即，又与相互独立，则W的概率密度为原文已完。下文为附加论文，如不需要，下载后可
