第4章多维随机变量及其分布.ppt

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1、概率论与数理统计第四章多维随机变量及其分布1第四章多维随机变量及其分布4.1多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量.例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述.2ρOyx(X,Y)xy3若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、湿度等等.一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们

2、作为一个整体(即向量)来研究.定义4.1若X1(e),X2(e),…,Xn(e)是定义在同一个样本空间S上的n个随机变量，e∈S，则由它们构成的一个n维向量(X1(e),X2(e),…,Xn(e))称为n维随机向量，或n维随机变量，简记为(X1,X2,…,Xn).显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量.下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推.4类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：定义4.2设(X,Y)为二维随机变量，x、y为任意实数，则二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)称为(X,Y)的分布函数，

3、或称为X和Y的联合分布函数.如果将二维随机变量(X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图4.1).5xoy(x,y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)F(x,y)图4.16利用分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，对任意的四个实数x1

4、x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)图4.28分布函数具有如下的性质：(ⅰ)对任意的实数x和y有0≤F(x,y)≤1；(ⅱ)对任意的x1≤x2，任意的实数y，有F(x1,y)≤F(x2,y)；对任意的y1≤y2，任意的实数x，有F(x,y1)≤F(x,y2)，即F(x,y)对每个分量都是单调不减的；9(ⅲ)对任意的实数x和y有10(ⅳ)F(x,y)对每个分量都是右连续的，即F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)；(ⅴ)对任意的实数x1≤x2，y1≤y2，有F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0.性质

5、(ⅰ)、(ⅱ)的证明是显然的，性质(ⅴ)可由概率的定义和性质直接得到，而性质(ⅲ)、(ⅳ)的证明从略.可以证明，若某二元函数F(x,y)满足上述的五个性质，则必存在二维随机变量(X,Y)以F(x,y)为其分布函数.11如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)为已知，那么随机变量X与Y的分布函数FX(x)和FY(y)，分别可由F(x,y)求得.事实上，直观地看(不严格证明)FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)其中12同理可得FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y)=F(+∞,y)其中人们称FX(x)和FY(y)为分布函数

6、F(x,y)的边缘分布函数，或二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数(marginaldistribution).13例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数求(1)常数C；(2)P(0

7、值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设(X,Y)为二维离散型随机变量，所有可能取的值为(xi,yj)，i,j=1,2,….令pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,…，则称pij(i,j=1,2,…)为(X,Y)的分布列，或称为X和Y的联合分布列.19由(X,Y)的分布列的表达式，二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数可表示为其中和式是对所有满足xi≤x，yj≤y的i,j求和.20二维离散型随机变量分布列具有下面的性质：(ⅰ)pij≥0，i,j=1,2,…；(ⅱ)(ⅲ)21性质(ⅰ)是显然的，性质(ⅱ)、(ⅲ)可用概率的完全可

8、加性证明之.今就(ⅲ)证