第3章_多维随机变量及其分布

《第3章_多维随机变量及其分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章多维随机变量及其分布二维随机变量边缘分布条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布一、多维随机变量定义将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成的一个n维随机向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)——Rn上的随机点坐标§1二维随机变量多维随机变量的研究方法也与一维类似，可用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。定义设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy

2、}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二、联合分布函数几何意义：分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如右图阴影部分：对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1

3、2,y)；对任意xR,当y1

4、,(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)XYy1y2…yj…p11p12...P1j...p21p22...P2j...pi1pi2...Pij...........................联合分布律的性质(1)pij0,i,j＝1,2,…；(

5、2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:例袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010解：即四、二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R22、联合密度f(x,y)的性质(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具

6、有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有(4)对于任意平面区域GR2,EX设求:P{X>Y}。G解：求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2x+3y6内的概率。例设解：(1)由归一性(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。(1)二维均匀分布U(D)若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y

7、）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有3、两个常用的二维连续型分布例设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)解：其中，1、2为实数，1>0、2>0、

8、

9、<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)FY(y)＝P{Yy}＝＝F(+,y)称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.§2边缘分布FX(x)＝P{Xx}

10、＝＝F(x,+)称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；注：边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。一、边缘分布函数已知(X,Y)的分布