第3章__多维随机变量及其分布

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1、第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量引言某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.H：表示该地区学龄前儿童的身高W：表示该地区学龄前儿童的体重则H(e)，W(e)是定义在S上的两个随机变量．1、考察某地区学龄前儿童的身体发育情况：样本空间S={e}={某地区的学龄前儿童}Z：表示该钢厂钢材的含硫量则X(e)，Y(e)，Z(e)是定义在S上的三个随机变量．X：表示该钢厂钢材的硬度Y：表示该钢厂钢材的含碳量2、考察某钢厂钢材的质量：样本空间S={e}={某钢厂生产的钢材}对于多维随机变量，不仅需要讨论各个分量的性质，还要把(X,Y)作为一个整体来进行研究.二维随机变量的概念

2、定义：设X，Y是定义在同一个样本空间上的两个随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机变量.eX(e)Y(e)S例：在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.联合分布二维随机变量(X,Y)（把X，Y看作一个整体）所具有的概率分布.边缘分布各分量X，Y作为一维随机变量所具有的概率分布.条件分布一个分量取值固定的条件下，另一个分量所具有的概率分布.联合分布函数三种不同类型的概率分布随机变量X的分布函数0x2Xx1回顾：一维随机变量的分布函数性质1：单调不减，即若，则必有.性质2：，且，.x性质3：在每一点处均为右连续，即有联合分布函数的概念定义：二元函数称为二维随机变

3、量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数.几何意义：随机点(X,Y)落在以点(x,y)为右上角顶点的无穷矩形内的概率．联合分布函数的性质对任意固定的y，当x1

4、若X及Y的全部不同的可能取值分别为则(X,Y)的全部可能取值为:2、二维离散型随机变量的联合分布二维离散型随机变量的联合分布称概率函数为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律.或称为随机变量X和Y的联合分布律.称概率函数为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律.或称为随机变量X和Y的联合分布律.(1)(2)联合分布律的性质联合分布函数对满足及的一切下标i和j进行求和．例：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律．解：根据题目条件，有例：已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件

5、,求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布律.解：由古典概率公式，有其中且依上式可得(X,Y)的联合概率分布律如下:由已知条件，二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为：例：已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布律.00000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/21030/2105/21030/2101其中且012340123二维连续型随机变量的联合分布1、二维连续型随机变量的定义对于二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(

6、x,y)，使对于任意的x和y，有则称(X,Y)是连续型的二维随机变量.函数f(x,y)称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.在空间直角坐标系中，z=f(x,y)表示一曲面，此曲面称为分布曲面.2、联合概率密度的性质(1)(2)附注：具有性质(1)、(2)的二元函数f(x,y)必是某个二维连续型随机变量的密度函数．注意到，以及可得分布曲面与xOy面所夹部分的体积为1.由，两边同时对x和y求偏导数(假定偏导数存在)，得(3)设R为xOy平面内任一区域R，则有(4)在f(x,y)的连续点处，有几何意义：以R为底，以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积.例：已知二维随机变量(X,Y)

7、的密度为试确定k的值，并求(X,Y)落在区域D的概率．其中解：由密度函数的性质又记从而xyO11RxyO11R例：已知二维随机变量(X,Y)的密度为试确定k的值，并求(X,Y)落在区域D的概率．其中从而于是Dn维随机变量的概念定义：设X，Y是定义在同一个样本空间上的两个随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机变量.eX(e)Y(e)S定义：设X1,X2,…,Xn是定义在同一个样本空间上的n