第3章多维随机变量及其分布

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1、§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望第三章多维随机变量及其分布3.3.1多维随机变量定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n维随机变量(随机向量).§3.1多维随机变量及其联合分布定义3.1.23.1.2联合分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.(以下仅讨论二维随机变量)任意实数对x和y,称注意：F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.X1X2x1x2(

2、x1,x2)联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当a

3、)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………联合分布列的基本性质(1)pij0,i,j=1,2,…(2)pij=1.(非负性)(正则性)确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.(2)计算取每个数值对的概率.(3)列出表格.例3.1.1将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布列.XY0413223140P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4

4、P(X=4,Y=0)=0.54=1/16P(X=1,Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:其对应的概率分别为：X01234Y01234列表为：00001/160001/40006/160001/40001/160000例3.1.2设随机变量Y~N(0,1),解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(

5、Y

6、≥1,

7、Y

8、≥2)=P(

9、Y

10、≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(

11、Y

12、≥1,

13、Y

14、<2)=P(1≤

15、Y

16、<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(

17、

18、Y

19、<1,

20、Y

21、≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(

22、Y

23、<1,

24、Y

25、<2)=P(

26、Y

27、<1)=0.6826求的联合分布列.列表为：X101X2010.04550.271900.6826例3.1.3一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布列与分布函数.(X,Y)的可能取值为解故(X,Y)的分布列为下面求分布函数.所以(X,Y)的分布函数为说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)

28、，若存在非负可积函数p(x,y)，使得3.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)为联合密度函数。联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.(非负性)(2)注意：(正则性)例3.1.4若(X,Y)～试求常数A.解:所以,A=6=A/6例3.1.5若(X,Y)～试求P{X<2,Y<1}.xy解:P{X<2,Y<1}21{x<2,y<1}例3.1.6若(X,Y)～试求P{(X,Y)D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6xy0解:例3.1.7书144页习题7（4）.一、多项分布3.1.5常用多维分布若每次试验有r种结果：A1,A2,…,Ar

29、记P(Ai)=pi,i=1,2,…,r记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数.则(X1,X2,…,Xr)的联合分布列为：这个联合分布列称为r项分布，记作M(n,p1,…pr)。自学书例3.1.4二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i种球有Ni只，N1+N2+……+Nr=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：(X,Y)所取的可能值是解例3.1.8从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、