半空间上Boussinesq方程组弱解的L_272_衰减估计

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1、首都师范大学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．学位论文作者签名：多Il}参君匆日期：年月日首都师范大学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非赢

2、利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要汇编出版．保密的学位论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：多1物奢纫日期：年月日第一章引言Boussinesq方程组是流体方程中一类重要的方程，它是流体速度场与温度场耦合而成的方程．该方程在天气预报，海洋生态等领域都有重要的应用背景．本文主要讨论如下Boussinesq方程组在R?×(0，oo)上的初边值问题：其中n表示空间维数，“(z，￡)=(ul(x，t)，u2(x，巩·一，“。(￡，t)表示藏体

3、速度向量，p(z，t)表示温度，v(z，t)表示压力函数，，(z，t)=(^(z，￡)，丘(。，t)，·～，^($，t))表示外力，tlo，％表示初始流体速度和温度，，y≥0和E≥0分别是流体粘性系数和导热系数．当仉￡都大于零时，(1．1)称为粘性Boussinesq方程组，当7=￡=0时，(1．1)称为无粘Bouesinesq方程组．Bousainesq方程组与流体方程中的Navier-Stokes方程及Euler方程有着密切的联系。当温度0(x，￡)为零对，(1．1)邵为N&vier-Stokes方程．Navier-

4、Stokes方程与Euler方程是描述流体运动的基本方程。其中关于三维Navier-Stokes方程强解的整体存在性及弱解的唯一性问题仍是当今著名的未解决问题，与Navier-Stokes方程及Euler方程相比较，Boussinesq方程组多了一个未知温度函数且温度与速度和压力之间存在着复杂的非线性关系．从热力学可知，任何运动都会产生热量即有温度，而且温度与速度和压力之间必定互相转化，因此对该非线性系统的研究更具有实际意义，也更富有挑战性．近些年来，有关Navier-Stokes方程组及Boussinesq方程组有一些

5、存在唯一性结果．关于Na：vier-Stokes方程组解的大时间性态也有很完整的研究；1985年，Schonbek给出了三维Navier-Stokes方程组的弱解在舻空间中的衰减估计([151)．1991年，给出了Navier-Stokes方程解的下界估计(1141)．1995年，Schonbek又给出了Navier-Stokes方程组在日”空间中解的大时间行为(f16】)，Wiegner在1987年给出了Navier-Stokes方程组在j汐空间中弱解的衰减估计．关于Navier-Stokes方程的时空衰减见(【5，6

6、，3，2】)．另外关于Bouesinesq方程组解的正则性问题的研究觅(【111)，Boussinesq方程组Cauchy问题弱缌的￡2衰减研究见《112】)，Boussinesq方程组的时空衰减研究觅([201)．为方便起见，本文假设7=E=1，即t0K㈨堋弘，只k，"∈％叫毗％壮帅㈤挪蚝^一龇悯汕一+=p忙k一一排～～vL蛳加“∞=F卸小巾篆一2硕士研究生毕i眦丈2007年lm+(t‘·V沁+跏=／Xu+of,扛，￡)∈霹×(o，oo)，IOt+∞·v)o=A0，0，t)∈哎×(o，oo)，{divu=0，(￡，t)

7、∈碑×(o，oo)，(1·1)lult_-o=uo，pb=00，z∈碑，I“l。。：o=o，ol。。：o=0，0，t)∈—R；×(o，oo)．主要结果如下：定理1．1设，∈LOO(o，∞；L2nL。(R华))，着t正0(z)∈⋯L2{Rn甲，，Oo(z)∈L2(．R军)，{IfU2≤c(t+1)～，A>；，《，II。≤c(t+1)一“，p>1．则问题(1．1)存在弱解“，0，对于n≥2，有IIt‘惦+11011；-+o’t．÷00．定理1．2设f∈三户(o，00；L2nL”(R罩))，若伽($)∈工：(j哗)NL’(衅)

8、00(x)∈∥(肆)fp(碎)，1sr<2，llfU2≤c(川)～，A≥杀一；+l'“州。sc(t+1)一p，p≥n(；一；)十1则问题(1．1)存在弱解t‘，0，对于tl≥3，有㈣；+IIOll；≤ct一“(；一{)．定理1．3设．，∈Loo(O，co；L2nLOOI[R罩))，若uo(霉)∈三；(R；)nL；(．